MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptopn2 22120
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a (𝜑𝐴𝑉)
ptopn2.f (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
ptopn2.o (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
Assertion
Ref Expression
ptopn2 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉   𝑘,𝑌
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑘)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 ptopn2.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶Top)
3 snfi 8582 . . 3 {𝑌} ∈ Fin
43a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
5 ptopn2.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑌))
7 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑌 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑌))
87eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑘 = 𝑌 → (𝑂 ∈ (𝐹𝑘) ↔ 𝑂 ∈ (𝐹𝑌)))
96, 8syl5ibrcom 248 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 = 𝑌𝑂 ∈ (𝐹𝑘)))
109imp 407 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑘 = 𝑌) → 𝑂 ∈ (𝐹𝑘))
112ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ Top)
12 eqid 2818 . . . . . 6 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
1312topopn 21442 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ Top → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1514adantr 481 . . 3 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑌) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
1610, 15ifclda 4497 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (𝐹𝑘))
17 eldifn 4101 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑌})
18 velsn 4573 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑌} ↔ 𝑘 = 𝑌)
1917, 18sylnib 329 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑘 = 𝑌)
2019iffalsed 4474 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌}) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
2120adantl 482 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑌})) → if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
221, 2, 4, 16, 21ptopn 22119 1 (𝜑X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝑌, 𝑂, (𝐹𝑘)) ∈ (∏t𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  ifcif 4463  {csn 4557   cuni 4830  wf 6344  cfv 6348  Xcixp 8449  Fincfn 8497  tcpt 16700  Topctop 21429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ixp 8450  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-top 21430  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  ptcld  22149
  Copyright terms: Public domain W3C validator