Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjpre1 21279
 Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1 𝑋 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑤   𝑘,𝐼,𝑤   𝑈,𝑘,𝑤   𝑘,𝑉,𝑤   𝑤,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 799 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐼𝐴)
2 vex 3194 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
32elixp 7860 . . . . . . . . . 10 (𝑤X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑤 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
43simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑤X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
5 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
64, 5eleq2s 2722 . . . . . . . 8 (𝑤𝑋 → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
76adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
8 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝐼))
9 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
109unieqd 4417 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
118, 10eleq12d 2698 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
1211rspcv 3296 . . . . . . 7 (𝐼𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑤𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
131, 7, 12sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
14 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) = (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))
1513, 14fmptd 6341 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)):𝑋 (𝐹𝐼))
16 ffn 6004 . . . . 5 ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)):𝑋 (𝐹𝐼) → (𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) Fn 𝑋)
17 elpreima 6294 . . . . 5 ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) Fn 𝑋 → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈)))
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈)))
19 fveq1 6149 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐼) = (𝑧𝐼))
20 fvex 6160 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐼) ∈ V
2119, 14, 20fvmpt 6240 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) = (𝑧𝐼))
2221eleq1d 2688 . . . . . . 7 (𝑧𝑋 → (((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
2322pm5.32i 668 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
245eleq2i 2696 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑋𝑧X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
25 vex 3194 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
2625elixp 7860 . . . . . . . . 9 (𝑧X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2724, 26bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2827anbi1i 730 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
29 anass 680 . . . . . . 7 (((𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
3028, 29bitri 264 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
3123, 30bitri 264 . . . . 5 ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
32 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)
33 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝐼))
34 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) = 𝑈)
3533, 34eleq12d 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
3632, 35syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
37 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
38 iffalse 4072 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
3938eleq2d 2689 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 = 𝐼 → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
4037, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (¬ 𝑘 = 𝐼 → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4136, 40pm2.61d 170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ ((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
4241expr 642 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → ((𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4342ralimdv 2962 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4443expimpd 628 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (((𝑧𝐼) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
4544ancomsd 470 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
46 elssuni 4438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (𝐹𝐼) → 𝑈 (𝐹𝐼))
4746ad2antll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → 𝑈 (𝐹𝐼))
4834, 10sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘) ↔ 𝑈 (𝐹𝐼)))
4947, 48syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘)))
50 ssid 3608 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑘) ⊆ (𝐹𝑘)
5138, 50syl6eqss 3639 . . . . . . . . . . 11 𝑘 = 𝐼 → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘))
5249, 51pm2.61d1 171 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ⊆ (𝐹𝑘))
5352sseld 3587 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
5453ralimdv 2962 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
5535rspcv 3296 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
5655ad2antrl 763 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (𝑧𝐼) ∈ 𝑈))
5754, 56jcad 555 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) → (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)))
5845, 57impbid 202 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
5958anbi2d 739 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧 Fn 𝐴 ∧ (∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑧𝐼) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6031, 59syl5bb 272 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑧𝑋 ∧ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼))‘𝑧) ∈ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6118, 60bitrd 268 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))))
6225elixp 7860 . . 3 (𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)) ↔ (𝑧 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑧𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
6361, 62syl6bbr 278 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → (𝑧 ∈ ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) ↔ 𝑧X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘))))
6463eqrdv 2624 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑈 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑤𝑋 ↦ (𝑤𝐼)) “ 𝑈) = X𝑘𝐴 if(𝑘 = 𝐼, 𝑈, (𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912   ⊆ wss 3560  ifcif 4063  ∪ cuni 4407   ↦ cmpt 4678  ◡ccnv 5078   “ cima 5082   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  Xcixp 7853  Topctop 20612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-ixp 7854 This theorem is referenced by:  ptpjpre2  21288  ptbasfi  21289
 Copyright terms: Public domain W3C validator