MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptunimpt 22131
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
ptunimpt ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴𝐾) = (𝑥𝐴𝐾)
21fvmpt2 6771 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐾 ∈ Top) → ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥) = 𝐾)
32eqcomd 2824 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐾 ∈ Top) → 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
43unieqd 4840 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐾 ∈ Top) → 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
54ralimiaa 3156 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top → ∀𝑥𝐴 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
65adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → ∀𝑥𝐴 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
7 ixpeq2 8463 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥) → X𝑥𝐴 𝐾 = X𝑥𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = X𝑥𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
9 nffvmpt1 6674 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦)
109nfuni 4837 . . . 4 𝑥 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦)
11 nfcv 2974 . . . 4 𝑦 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥)
12 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
1312unieqd 4840 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
1410, 11, 13cbvixp 8466 . . 3 X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = X𝑥𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥)
158, 14syl6eqr 2871 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦))
161fmpt 6866 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top)
17 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
1817ptuni 22130 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top) → X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = 𝐽)
1916, 18sylan2b 593 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = 𝐽)
2015, 19eqtrd 2853 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135   cuni 4830  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  Xcixp 8449  tcpt 16700  Topctop 21429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ixp 8450  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-top 21430  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  pttopon  22132  kelac1  39541
  Copyright terms: Public domain W3C validator