Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw2m1lepw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2m1lepw2m1 41598
 Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pw2m1lepw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1
StepHypRef Expression
1 1lt2 11138 . . . 4 1 < 2
2 nncn 10972 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3 1cnd 10000 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
42, 3nncand 10341 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
54oveq2d 6620 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6 2cn 11035 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 11057 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10 nnz 11343 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11 peano2zm 11364 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
137, 9, 12, 10expsubd 12959 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14 exp1 12806 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
156, 14mp1i 13 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
165, 13, 153eqtr3d 2663 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
171, 16syl5breqr 4651 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18 2nn 11129 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 11278 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 12970 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
2221nnrpd 11814 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23 2z 11353 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 nnnn0 11243 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25 zexpcl 12815 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2623, 24, 25sylancr 694 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2726zred 11426 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28 divgt1b 41591 . . . 4 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
2922, 27, 28syl2anc 692 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
3017, 29mpbird 247 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
3121nnzd 11425 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32 zltlem1 11374 . . 3 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3331, 26, 32syl2anc 692 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3430, 33mpbid 222 1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ℝ+crp 11776  ↑cexp 12800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801 This theorem is referenced by:  logbpw2m1  41653
 Copyright terms: Public domain W3C validator