MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcda1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcda1 9013
Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcda1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))

Proof of Theorem pwcda1
StepHypRef Expression
1 1on 7564 . . . 4 1𝑜 ∈ On
2 pwcdaen 9004 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1𝑜 ∈ On) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
31, 2mpan2 707 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
4 pwpw0 4342 . . . . . 6 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
5 df1o2 7569 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
65pweqi 4160 . . . . . 6 𝒫 1𝑜 = 𝒫 {∅}
7 df2o2 7571 . . . . . 6 2𝑜 = {∅, {∅}}
84, 6, 73eqtr4i 2653 . . . . 5 𝒫 1𝑜 = 2𝑜
98xpeq2i 5134 . . . 4 (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 × 2𝑜)
10 pwexg 4848 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
11 xp2cda 8999 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
139, 12syl5eq 2667 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
143, 13breqtrd 4677 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
1514ensymd 8004 1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  c0 3913  𝒫 cpw 4156  {csn 4175  {cpr 4177   class class class wbr 4651   × cxp 5110  Oncon0 5721  (class class class)co 6647  1𝑜c1o 7550  2𝑜c2o 7551  cen 7949   +𝑐 ccda 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-1o 7557  df-2o 7558  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-cda 8987
This theorem is referenced by:  pwcdaidm  9014  cdalepw  9015  pwsdompw  9023  gchcdaidm  9487  gchpwdom  9489
  Copyright terms: Public domain W3C validator