MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdadom 9076
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 9541. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdadom (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwcdadom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 8525 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0elpw 4864 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴)
32n0ii 3955 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅
4 dom0 8129 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅ ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅)
53, 4mtbir 312 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅
6 cdafn 9029 . . . . . . . . . . . 12 +𝑐 Fn (V × V)
7 fndm 6028 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑐 Fn (V × V) → dom +𝑐 = (V × V))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom +𝑐 = (V × V)
98ndmov 6860 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ∅)
109breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅))
115, 10mtbiri 316 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
1211con4i 113 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312simpld 474 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
14 0ex 4823 . . . . . 6 ∅ ∈ V
15 xpsneng 8086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1613, 14, 15sylancl 695 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
17 endom 8024 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴)
18 domwdom 8520 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴)
19 wdomtr 8521 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
2019expcom 450 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
2116, 17, 18, 204syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
221, 21mtoi 190 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}))
23 pwcdaen 9045 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
2413, 13, 23syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
25 domen1 8143 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2726ibi 256 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
28 cdaval 9030 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
2912, 28syl 17 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3027, 29breqtrd 4711 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
31 unxpwdom 8535 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3332ord 391 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3422, 33mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
3512simprd 478 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36 1on 7612 . . 3 1𝑜 ∈ On
37 xpsneng 8086 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
3835, 36, 37sylancl 695 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
39 domentr 8056 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}) ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4034, 38, 39syl2anc 694 1 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  cen 7994  cdom 7995  * cwdom 8503   +𝑐 ccda 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-wdom 8505  df-cda 9028
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9489  gchpwdom  9530  gchhar  9539
  Copyright terms: Public domain W3C validator