MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdandom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdandom 9440
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdandom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))

Proof of Theorem pwcdandom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9438 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2 df1o2 7524 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
32xpeq2i 5101 . . . . . 6 (𝐴 × 1𝑜) = (𝐴 × {∅})
4 reldom 7912 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5124 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 0ex 4755 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
7 xpsneng 7996 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
85, 6, 7sylancl 693 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
93, 8syl5eqbr 4653 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)
109ensymd 7958 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 1𝑜))
11 omex 8491 . . . . . . 7 ω ∈ V
12 ordom 7028 . . . . . . . 8 Ord ω
13 1onn 7671 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
14 ordelss 5703 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 1𝑜 ⊆ ω)
1512, 13, 14mp2an 707 . . . . . . 7 1𝑜 ⊆ ω
16 ssdomg 7952 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (1𝑜 ⊆ ω → 1𝑜 ≼ ω))
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . 6 1𝑜 ≼ ω
18 domtr 7960 . . . . . 6 ((1𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1𝑜𝐴)
1917, 18mpan 705 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → 1𝑜𝐴)
20 xpdom2g 8007 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜𝐴) → (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
215, 19, 20syl2anc 692 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 endomtr 7965 . . . 4 ((𝐴 ≈ (𝐴 × 1𝑜) ∧ (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
2310, 21, 22syl2anc 692 . . 3 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24 cdadom2 8960 . . 3 (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
25 domtr 7960 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2625expcom 451 . . 3 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
2723, 24, 263syl 18 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
281, 27mtod 189 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   class class class wbr 4618   × cxp 5077  Ord word 5686  (class class class)co 6610  ωcom 7019  1𝑜c1o 7505  cen 7903  cdom 7904   +𝑐 ccda 8940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-seqom 7495  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-oexp 7518  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-oi 8366  df-har 8414  df-cnf 8510  df-card 8716  df-cda 8941
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9441
  Copyright terms: Public domain W3C validator