MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdom 8057
Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdom (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4138 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
21breq1d 4628 . 2 (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3 reldom 7906 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelexi 5123 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 8034 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
76biimpar 502 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 simpl 473 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
9 fodomr 8056 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 8, 9syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 vex 3194 . . . . 5 𝑓 ∈ V
12 fopwdom 8013 . . . . 5 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵onto𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1311, 12mpan 705 . . . 4 (𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1413exlimiv 1860 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1510, 14syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
163brrelex2i 5124 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
17 pwexg 4815 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
19 0ss 3949 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
20 sspwb 4883 . . . 4 (∅ ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵)
2119, 20mpbi 220 . . 3 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
22 ssdomg 7946 . . 3 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
2318, 21, 22mpisyl 21 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
242, 15, 23pm2.61ne 2881 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  ontowfo 5848  cdom 7898  csdm 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903
This theorem is referenced by:  cdalepw  8963  gchpwdom  9437  gchaclem  9445  2ndcredom  21158
  Copyright terms: Public domain W3C validator