MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwen 8678
Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 8502 . . . 4 Rel ≈
21brrelex1i 5601 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
3 pw2eng 8611 . . 3 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
5 2onn 8255 . . . . . 6 2o ∈ ω
65elexi 3511 . . . . 5 2o ∈ V
76enref 8530 . . . 4 2o ≈ 2o
8 mapen 8669 . . . 4 ((2o ≈ 2o𝐴𝐵) → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
97, 8mpan 686 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵))
101brrelex2i 5602 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
11 pw2eng 8611 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
12 ensym 8546 . . . 4 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
1310, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐴𝐵 → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
14 entr 8549 . . 3 (((2om 𝐴) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
159, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝐴𝐵 → (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
16 entr 8549 . 2 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ (2om 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
174, 15, 16syl2anc 584 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  Vcvv 3492  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  ωcom 7569  2oc2o 8085  m cmap 8395  cen 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498
This theorem is referenced by:  pwfi  8807  dfac12k  9561  pwdjuidm  9605  pwsdompw  9614  ackbij2lem2  9650  engch  10038  gchdomtri  10039  canthp1lem1  10062  gchdjuidm  10078  gchxpidm  10079  gchpwdom  10080  gchhar  10089  inar1  10185  rexpen  15569  enrelmap  40221  enrelmapr  40222
  Copyright terms: Public domain W3C validator