MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoser 14797
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoser (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser
StepHypRef Expression
1 1m1e0 11279 . . . 4 (1 − 1) = 0
2 pwm1geoser.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0zd 11670 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 1exp 13081 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
65oveq1d 6826 . . . 4 (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (1 − 1))
7 fzfid 12964 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
8 1cnd 10246 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12624 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
109adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118, 10expcld 13200 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑘) ∈ ℂ)
127, 11fsumcl 14661 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘) ∈ ℂ)
1312mul02d 10424 . . . 4 (𝜑 → (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)) = 0)
141, 6, 133eqtr4a 2818 . . 3 (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
15 oveq1 6818 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑁) = (1↑𝑁))
1615oveq1d 6826 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((1↑𝑁) − 1))
17 oveq1 6818 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = (1 − 1))
1817, 1syl6eq 2808 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = 0)
19 oveq1 6818 . . . . . . . 8 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2019adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2120ralrimiva 3102 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2221sumeq2d 14629 . . . . 5 (𝐴 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))
2318, 22oveq12d 6829 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
2416, 23eqeq12d 2773 . . 3 (𝐴 = 1 → (((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)) ↔ ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))))
2514, 24syl5ibr 236 . 2 (𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
26 pwm1geoser.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2726adantl 473 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 neqne 2938 . . . . . 6 𝐴 = 1 → 𝐴 ≠ 1)
2928adantr 472 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ≠ 1)
302adantl 473 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3127, 29, 30geoser 14796 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
32 eqcom 2765 . . . . 5 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
33 1cnd 10246 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ∈ ℂ)
3426, 2expcld 13200 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3534adantl 473 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
36 nesym 2986 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
3736biimpri 218 . . . . . . . . 9 𝐴 = 1 → 1 ≠ 𝐴)
3837adantr 472 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ≠ 𝐴)
3933, 35, 33, 27, 38div2subd 11041 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
4039eqeq1d 2760 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
41 peano2cnm 10537 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
4234, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
4342adantl 473 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
44 fzfid 12964 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
4527adantr 472 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
469adantl 473 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4745, 46expcld 13200 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4844, 47fsumcl 14661 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
49 peano2cnm 10537 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5049adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
51 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
52 1cnd 10246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 1 ∈ ℂ)
5328adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ≠ 1)
5451, 52, 53subne0d 10591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
5550, 54jca 555 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
5655ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
5726, 56syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
5857impcom 445 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
59 divmul2 10879 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6043, 48, 58, 59syl3anc 1477 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6140, 60bitrd 268 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6232, 61syl5bb 272 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6331, 62mpbid 222 . . 3 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
6463ex 449 . 2 𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6525, 64pm2.61i 176 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  (class class class)co 6811  cc 10124  0cc0 10126  1c1 10127   · cmul 10131  cmin 10456   / cdiv 10874  0cn0 11482  cz 11567  ...cfz 12517  cexp 13052  Σcsu 14613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-sum 14614
This theorem is referenced by:  lighneallem3  42032
  Copyright terms: Public domain W3C validator