MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoser 14525
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoser (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser
StepHypRef Expression
1 1m1e0 11033 . . . 4 (1 − 1) = 0
2 pwm1geoser.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 1exp 12829 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
65oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (1 − 1))
7 fzfid 12712 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
8 1cnd 10000 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
9 elfznn0 12374 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
109adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118, 10expcld 12948 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑘) ∈ ℂ)
127, 11fsumcl 14397 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘) ∈ ℂ)
1312mul02d 10178 . . . 4 (𝜑 → (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)) = 0)
141, 6, 133eqtr4a 2681 . . 3 (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
15 oveq1 6611 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑁) = (1↑𝑁))
1615oveq1d 6619 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((1↑𝑁) − 1))
17 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = (1 − 1))
1817, 1syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = 0)
19 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝐴 = 1 → (𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2120ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = (1↑𝑘))
2221sumeq2d 14366 . . . . 5 (𝐴 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))
2318, 22oveq12d 6622 . . . 4 (𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
2416, 23eqeq12d 2636 . . 3 (𝐴 = 1 → (((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)) ↔ ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))))
2514, 24syl5ibr 236 . 2 (𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
26 pwm1geoser.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2726adantl 482 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 neqne 2798 . . . . . 6 𝐴 = 1 → 𝐴 ≠ 1)
2928adantr 481 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ≠ 1)
302adantl 482 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3127, 29, 30geoser 14524 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
32 eqcom 2628 . . . . 5 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
33 1cnd 10000 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ∈ ℂ)
3426, 2expcld 12948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
36 nesym 2846 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
3736biimpri 218 . . . . . . . . 9 𝐴 = 1 → 1 ≠ 𝐴)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ≠ 𝐴)
3933, 35, 33, 27, 38div2subd 10795 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
4039eqeq1d 2623 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
41 peano2cnm 10291 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
4234, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
44 fzfid 12712 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
4527adantr 481 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
469adantl 482 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4745, 46expcld 12948 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4844, 47fsumcl 14397 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
49 peano2cnm 10291 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
51 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
52 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 1 ∈ ℂ)
5328adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ≠ 1)
5451, 52, 53subne0d 10345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
5550, 54jca 554 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
5655ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
5726, 56syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
5857impcom 446 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
59 divmul2 10633 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)) → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6043, 48, 58, 59syl3anc 1323 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6140, 60bitrd 268 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6232, 61syl5bb 272 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6331, 62mpbid 222 . . 3 ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
6463ex 450 . 2 𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
6525, 64pm2.61i 176 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  cexp 12800  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  lighneallem3  40820
  Copyright terms: Public domain W3C validator