MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws0g 17373
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmnd.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws0g.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws0g ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝑌))

Proof of Theorem pws0g
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simpr 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
3 fvexd 6241 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 fconst6g 6132 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
54adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
61, 2, 3, 5prds0g 17371 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
7 elex 3243 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
87ad2antrr 762 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ V)
9 fconstmpt 5197 . . . . 5 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
109a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅))
11 fn0g 17309 . . . . . 6 0g Fn V
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 0g Fn V)
13 dffn5 6280 . . . . 5 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g𝑟)))
1412, 13sylib 208 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g𝑟)))
15 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = (0g𝑅))
16 pws0g.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1715, 16syl6eqr 2703 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = 0 )
188, 10, 14, 17fmptco 6436 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥𝐼0 ))
19 fconstmpt 5197 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2018, 19syl6reqr 2704 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
21 pwsmnd.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
22 eqid 2651 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
2321, 22pwsval 16193 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
2423fveq2d 6233 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
256, 20, 243eqtr4d 2695 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210  cmpt 4762   × cxp 5141  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Scalarcsca 15991  0gc0g 16147  Xscprds 16153  s cpws 16154  Mndcmnd 17341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17416  pwsco1mhm  17417  pwsco2mhm  17418  frlm0  20146  plypf1  24013  pwssplit4  37976  pwslnmlem2  37980
  Copyright terms: Public domain W3C validator