Theorem pws0g 17373

Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		fvexd 6241	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		fconst6g 6132	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
6	1, 2, 3, 5	prds0g 17371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
7		elex 3243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
8	7	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
9		fconstmpt 5197	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
11		fn0g 17309	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g Fn V)
13		dffn5 6280	. . . . 5 ⊢ (0g Fn V ↔ 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
14	12, 13	sylib 208	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
15		fveq2 6229	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
16		pws0g.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	15, 16	syl6eqr 2703	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
18	8, 10, 14, 17	fmptco 6436	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
19		fconstmpt 5197	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
20	18, 19	syl6reqr 2704	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
21		pwsmnd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
22		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
23	21, 22	pwsval 16193	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
24	23	fveq2d 6233	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	6, 20, 24	3eqtr4d 2695	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Scalarcsca 15991  0_gc0g 16147  X_scprds 16153   ↑_s cpws 16154  Mndcmnd 17341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17416  pwsco1mhm  17417  pwsco2mhm  17418  frlm0  20146  plypf1  24013  pwssplit4  37976  pwslnmlem2  37980