MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws1 18387
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2609 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 15917 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
43fveq2d 6091 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5 eqid 2609 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6 simpr 475 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
7 fvex 6097 . . . 4 (Scalar‘𝑅) ∈ V
87a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
9 fconst6g 5991 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
109adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
115, 6, 8, 10prds1 18385 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
12 fn0g 17033 . . . . . . 7 0g Fn V
1312a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 0g Fn V)
14 fnmgp 18262 . . . . . . 7 mulGrp Fn V
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → mulGrp Fn V)
16 ssv 3587 . . . . . . 7 ran mulGrp ⊆ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
18 fnco 5898 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1913, 15, 17, 18syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
20 df-ur 18273 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
2120fneq1i 5884 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
2219, 21sylibr 222 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 1r Fn V)
23 elex 3184 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2423adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
25 fcoconst 6291 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
2622, 24, 25syl2anc 690 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
27 pws1.o . . . . 5 1 = (1r𝑅)
2827sneqi 4135 . . . 4 { 1 } = {(1r𝑅)}
2928xpeq2i 5049 . . 3 (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r𝑅)})
3026, 29syl6eqr 2661 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
314, 11, 303eqtr2rd 2650 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  {csn 4124   × cxp 5025  ran crn 5028  ccom 5031   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  Scalarcsca 15719  0gc0g 15871  Xscprds 15877  s cpws 15878  mulGrpcmgp 18260  1rcur 18272  Ringcrg 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-prds 15879  df-pws 15881  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator