Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco1rhm 18786
 Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco1rhm.z 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
pwsco1rhm.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco1rhm.b (𝜑𝐵𝑊)
pwsco1rhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsco1rhm (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1rhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 pwsco1rhm.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
3 pwsco1rhm.z . . . . 5 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
43pwsring 18661 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
51, 2, 4syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
6 pwsco1rhm.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 pwsco1rhm.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
87pwsring 18661 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
91, 6, 8syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
105, 9jca 553 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring))
11 pwsco1rhm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑍)
12 ringmnd 18602 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
14 pwsco1rhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
157, 3, 11, 13, 6, 2, 14pwsco1mhm 17417 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
16 ringgrp 18598 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
175, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
18 ringgrp 18598 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
199, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
20 ghmmhmb 17718 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2117, 19, 20syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2215, 21eleqtrrd 2733 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
23 eqid 2651 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
24 eqid 2651 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
25 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
26 eqid 2651 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2726ringmgp 18599 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
281, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
2923, 24, 25, 28, 6, 2, 14pwsco1mhm 17417 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
30 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
313, 30pwsbas 16194 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
3213, 2, 31syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
3332, 11syl6eqr 2703 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = 𝐶)
3426, 30mgpbas 18541 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3524, 34pwsbas 16194 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3628, 2, 35syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3733, 36eqtr3d 2687 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3837mpteq1d 4771 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)))
39 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
40 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
41 eqid 2651 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
42 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
44 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
453, 26, 24, 41, 42, 25, 43, 44pwsmgp 18664 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
461, 2, 45syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
4746simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
48 eqid 2651 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
49 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
52 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
537, 26, 23, 48, 49, 50, 51, 52pwsmgp 18664 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
541, 6, 53syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5554simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5646simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5756oveqdr 6714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
5854simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5958oveqdr 6714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6039, 40, 47, 55, 57, 59mhmpropd 17388 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6129, 38, 603eltr4d 2745 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
6222, 61jca 553 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
6341, 48isrhm 18769 . 2 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
6410, 62, 63sylanbrc 699 1 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ↦ cmpt 4762   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   ↑s cpws 16154  Mndcmnd 17341   MndHom cmhm 17380  Grpcgrp 17469   GrpHom cghm 17704  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763 This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  19734
 Copyright terms: Public domain W3C validator