MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsco1rhm 18507
Description: Right composition with a function on the index sets yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1rhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
pwsco1rhm.z 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
pwsco1rhm.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsco1rhm.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwsco1rhm.a (𝜑𝐴𝑉)
pwsco1rhm.b (𝜑𝐵𝑊)
pwsco1rhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsco1rhm (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐵,𝑔   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑌   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem pwsco1rhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1rhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 pwsco1rhm.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
3 pwsco1rhm.z . . . . 5 𝑍 = (𝑅s 𝐵)
43pwsring 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → 𝑍 ∈ Ring)
51, 2, 4syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
6 pwsco1rhm.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 pwsco1rhm.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐴)
87pwsring 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
91, 6, 8syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
105, 9jca 552 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring))
11 pwsco1rhm.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑍)
12 ringmnd 18325 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
14 pwsco1rhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
157, 3, 11, 13, 6, 2, 14pwsco1mhm 17139 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 MndHom 𝑌))
16 ringgrp 18321 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Grp)
175, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Grp)
18 ringgrp 18321 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
199, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
20 ghmmhmb 17440 . . . . 5 ((𝑍 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ Grp) → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2117, 19, 20syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 GrpHom 𝑌) = (𝑍 MndHom 𝑌))
2215, 21eleqtrrd 2690 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌))
23 eqid 2609 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)
24 eqid 2609 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
25 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
26 eqid 2609 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2726ringmgp 18322 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
281, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
2923, 24, 25, 28, 6, 2, 14pwsco1mhm 17139 . . . 4 (𝜑 → (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
30 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
313, 30pwsbas 15916 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
3213, 2, 31syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘𝑍))
3332, 11syl6eqr 2661 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = 𝐶)
3426, 30mgpbas 18264 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3524, 34pwsbas 15916 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3628, 2, 35syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐵) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3733, 36eqtr3d 2645 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
3837mpteq1d 4660 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) = (𝑔 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ↦ (𝑔𝐹)))
39 eqidd 2610 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍)))
40 eqidd 2610 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
41 eqid 2609 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
42 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
43 eqid 2609 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
44 eqid 2609 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
453, 26, 24, 41, 42, 25, 43, 44pwsmgp 18387 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
461, 2, 45syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
4746simpld 473 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑍)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
48 eqid 2609 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
49 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
50 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
51 eqid 2609 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(mulGrp‘𝑌))
52 eqid 2609 . . . . . . . 8 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))
537, 26, 23, 48, 49, 50, 51, 52pwsmgp 18387 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
541, 6, 53syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))))
5554simpld 473 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5646simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑍)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5756oveqdr 6551 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑍)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑍))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
5854simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
5958oveqdr 6551 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴))𝑦))
6039, 40, 47, 55, 57, 59mhmpropd 17110 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)) = (((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) MndHom ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐴)))
6129, 38, 603eltr4d 2702 . . 3 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
6222, 61jca 552 . 2 (𝜑 → ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌))))
6341, 48isrhm 18490 . 2 ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌) ↔ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ Ring) ∧ ((𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 GrpHom 𝑌) ∧ (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘𝑌)))))
6410, 62, 63sylanbrc 694 1 (𝜑 → (𝑔𝐶 ↦ (𝑔𝐹)) ∈ (𝑍 RingHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cmpt 4637  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  s cpws 15876  Mndcmnd 17063   MndHom cmhm 17102  Grpcgrp 17191   GrpHom cghm 17426  mulGrpcmgp 18258  Ringcrg 18316   RingHom crh 18481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-ghm 17427  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-rnghom 18484
This theorem is referenced by:  evls1rhmlem  19453
  Copyright terms: Public domain W3C validator