Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiaglmhm 18976
 Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . 2 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
3 eqid 2621 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
4 eqid 2621 . 2 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5 eqid 2621 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6 eqid 2621 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 simpl 473 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
98pwslmod 18889 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
108, 4pwssca 16077 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
1110eqcomd 2627 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12 lmodgrp 18791 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
148, 1, 13pwsdiagghm 17609 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
1512, 14sylan 488 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16 simplr 791 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝐼𝑊)
171, 4, 2, 6lmodvscl 18801 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1263 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 750 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2013fvdiagfn 7846 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 692 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2213fvdiagfn 7846 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2322ad2ant2l 781 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2423oveq2d 6620 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 simpll 789 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 793 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
288, 1, 25pwsdiagel 16078 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
2928adantrl 751 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 16075 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝐼𝑊)
32 vex 3189 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑎 ∈ V)
34 vex 3189 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 6875 . . . . 5 (𝐼𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3736ad2antlr 762 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2659 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2658 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 18958 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866   ↑s cpws 16028  Grpcgrp 17343   GrpHom cghm 17578  LModclmod 18784   LMHom clmhm 18938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-ghm 17579  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lmhm 18941 This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  37139
 Copyright terms: Public domain W3C validator