Theorem pwsdiaglmhm 19823

Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiaglmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiaglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsdiaglmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2821	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝑅)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		eqid 2821	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5		eqid 2821	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6		eqid 2821	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8		pwsdiaglmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
9	8	pwslmod 19736	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
10	8, 4	pwssca 16763	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
11	10	eqcomd 2827	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12		lmodgrp 19635	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13		pwsdiaglmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
14	8, 1, 13	pwsdiagghm 18380	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
15	12, 14	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
17	1, 4, 2, 6	lmodvscl 19645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	3expb 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19	18	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
20	13	fvdiagfn 8449	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
21	16, 19, 20	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
22	13	fvdiagfn 8449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
23	22	ad2ant2l 744	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
24	23	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
28	8, 1, 25	pwsdiagel 16764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
29	28	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	8, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29	pwsvscafval 16761	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
32		vex 3498	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
34		vex 3498	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
36	31, 33, 35	ofc12 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
37	36	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
38	24, 30, 37	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)}))
39	21, 38	eqtr4d 2859	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39	islmhmd 19805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495  {csn 4561   ↦ cmpt 5139   × cxp 5548  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563   ↑_s cpws 16714  Grpcgrp 18097   GrpHom cghm 18349  LModclmod 19628   LMHom clmhm 19785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-ghm 18350  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lmhm 19788

This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  39685