Theorem pwsdiagmhm 17994

Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsdiagmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsdiagmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiagmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
pwsdiagmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiagmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Mnd)
2		pwsdiagmhm.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
3	2	pwsmnd 17945	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ Mnd)
4		pwsdiagmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4	fvexi 6683	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6		pwsdiagmhm.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
7	6	fdiagfn 8453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
8	5, 7	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
9	8	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼))
10	2, 4	pwsbas 16759	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
11	10	feq3d 6500	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(𝐵 ↑m 𝐼) ↔ 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌)))
12	9, 11	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌))
13		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
14		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4, 14	mndcl 17918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16	15	3expb 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	6	fvdiagfn 8454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
19	13, 17, 18	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
20	6	fvdiagfn 8454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) = (𝐼 × {𝑎}))
21	6	fvdiagfn 8454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
22	20, 21	oveqan12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
23	22	anandis 676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
24	23	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
27	2, 4, 25	pwsdiagel 16769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
28	27	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑎}) ∈ (Base‘𝑌))
29	2, 4, 25	pwsdiagel 16769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
30	29	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
31		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
32	2, 25, 26, 13, 28, 30, 14, 31	pwsplusgval 16762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎})(+g‘𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
33		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ 𝑊)
34		vex 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑎 ∈ V)
36		vex 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝑏 ∈ V)
38	33, 35, 37	ofc12 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
39	38	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘f (+g‘𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
40	24, 32, 39	3eqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)}))
41	19, 40	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
42	41	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)))
43		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	4, 44	mndidcl 17925	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	45	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	6	fvdiagfn 8454	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
48	43, 46, 47	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (𝐼 × {(0g‘𝑅)}))
49	2, 44	pws0g 17946	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
50	48, 49	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))
51	12, 42, 50	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌)))
52		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
53	4, 25, 14, 31, 44, 52	ismhm 17957	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑌) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑌)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑌))))
54	1, 3, 51, 53	syl21anbrc 1340	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3494  {csn 4566   ↦ cmpt 5145   × cxp 5552  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∘_f cof 7406   ↑_m cmap 8405  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  0_gc0g 16712   ↑_s cpws 16719  Mndcmnd 17910   MndHom cmhm 17953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955

This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  18385  pwsdiagrhm  19568