MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwselbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwselbas 16196
Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsbas.f 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
pwselbas.r (𝜑𝑅𝑊)
pwselbas.i (𝜑𝐼𝑍)
pwselbas.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
pwselbas (𝜑𝑋:𝐼𝐵)

Proof of Theorem pwselbas
StepHypRef Expression
1 pwselbas.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 pwselbas.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
3 pwselbas.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
4 pwsbas.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsbas.f . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 pwselbas.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6pwselbasb 16195 . . 3 ((𝑅𝑊𝐼𝑍) → (𝑋𝑉𝑋:𝐼𝐵))
82, 3, 7syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑉𝑋:𝐼𝐵))
91, 8mpbid 222 1 (𝜑𝑋:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cpws 16154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-prds 16155  df-pws 16157
This theorem is referenced by:  pwsplusgval  16197  pwsmulrval  16198  pwsle  16199  pwsleval  16200  pwsvscafval  16201  pwsvscaval  16202  pwsco1mhm  17417  pwsco2mhm  17418  pwsinvg  17575  pwssub  17576  mpff  19581  fveval1fvcl  19745  evl1addd  19753  evl1subd  19754  evl1muld  19755  pf1f  19762  pf1mpf  19764  ply1remlem  23967  ply1rem  23968  fta1glem1  23970  fta1glem2  23971  fta1g  23972  fta1blem  23973  plypf1  24013  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem3  25118  pwssplit4  37976  idomrootle  38090
  Copyright terms: Public domain W3C validator