MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwselbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwselbas 15918
Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsbas.f 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
pwselbas.r (𝜑𝑅𝑊)
pwselbas.i (𝜑𝐼𝑍)
pwselbas.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
pwselbas (𝜑𝑋:𝐼𝐵)

Proof of Theorem pwselbas
StepHypRef Expression
1 pwselbas.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 pwselbas.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
3 pwselbas.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
4 pwsbas.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsbas.f . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 pwselbas.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6pwselbasb 15917 . . 3 ((𝑅𝑊𝐼𝑍) → (𝑋𝑉𝑋:𝐼𝐵))
82, 3, 7syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑉𝑋:𝐼𝐵))
91, 8mpbid 220 1 (𝜑𝑋:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  s cpws 15876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-hom 15739  df-cco 15740  df-prds 15877  df-pws 15879
This theorem is referenced by:  pwsplusgval  15919  pwsmulrval  15920  pwsle  15921  pwsleval  15922  pwsvscafval  15923  pwsvscaval  15924  pwsco1mhm  17139  pwsco2mhm  17140  pwsinvg  17297  pwssub  17298  mpff  19300  fveval1fvcl  19464  evl1addd  19472  evl1subd  19473  evl1muld  19474  pf1f  19481  pf1mpf  19483  ply1remlem  23643  ply1rem  23644  fta1glem1  23646  fta1glem2  23647  fta1g  23648  fta1blem  23649  plypf1  23689  lgsqrlem2  24789  lgsqrlem3  24790  pwssplit4  36473  idomrootle  36588
  Copyright terms: Public domain W3C validator