MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsinvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsinvg 17297
Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m 𝑀 = (invg𝑅)
pwsinvg.n 𝑁 = (invg𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsinvg ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simp2 1054 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐼𝑉)
3 fvex 6098 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
43a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 simp1 1053 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
6 fconst6g 5992 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
8 eqid 2609 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9 eqid 2609 . . . 4 (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
10 simp3 1055 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
11 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
12 pwsgrp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
13 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1412, 13pwsval 15915 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15143adant3 1073 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1615fveq2d 6092 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1711, 16syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1810, 17eleqtrd 2689 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
191, 2, 4, 7, 8, 9, 18prdsinvgd 17295 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))))
20 fvconst2g 6350 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
215, 20sylan 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2221fveq2d 6092 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg𝑅))
23 pwsinvg.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝑅)
2422, 23syl6eqr 2661 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
2524fveq1d 6090 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥)) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
2625mpteq2dva 4666 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
2719, 26eqtrd 2643 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
28 pwsinvg.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
2915fveq2d 6092 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (invg𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3028, 29syl5eq 2655 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3130fveq1d 6090 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
32 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3312, 32, 11, 5, 2, 10pwselbas 15918 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3433ffvelrnda 6252 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3533feqmptd 6144 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
3632, 23grpinvf 17235 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
375, 36syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
3837feqmptd 6144 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀𝑦)))
39 fveq2 6088 . . 3 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
4034, 35, 38, 39fmptco 6288 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
4127, 31, 403eqtr4d 2653 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  {csn 4124  cmpt 4637   × cxp 5026  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717  Xscprds 15875  s cpws 15876  Grpcgrp 17191  invgcminusg 17192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195
This theorem is referenced by:  pwssub  17298
  Copyright terms: Public domain W3C validator