Theorem pwsinvg 18206

Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
pwsinvg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsinvg	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		fvexd 6679	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		fconst6g 6562	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
11		pwsgrp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 16753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15	14	fveq2d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	10, 15	syl5eq 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17	9, 16	eleqtrd 2915	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17	prdsinvgd 18204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
19		fvconst2g 6958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
20	4, 19	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
21	20	fveq2d 6668	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg‘𝑅))
22		pwsinvg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
23	21, 22	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
24	23	fveq1d 6666	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
26	18, 25	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
27		pwsinvg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
28	14	fveq2d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (invg‘𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
29	27, 28	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
30	29	fveq1d 6666	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
31		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	11, 31, 10, 4, 2, 9	pwselbas 16756	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
33	32	ffvelrnda 6845	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
34	32	feqmptd 6727	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
35	31, 22	grpinvf 18144	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
36	4, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6727	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀‘𝑦)))
38		fveq2 6664	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑥) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
39	33, 34, 37, 38	fmptco 6885	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
40	26, 30, 39	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  {csn 4560   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547   ∘ ccom 5553  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  X_scprds 16713   ↑_s cpws 16714  Grpcgrp 18097  inv_gcminusg 18098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101

This theorem is referenced by:  pwssub  18207