Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsleval 16093
 Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
pwsleval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsleval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsleval.a (𝜑𝐹𝐵)
pwsleval.b (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsleval (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)𝑂(𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval
StepHypRef Expression
1 pwsleval.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
2 pwsleval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
3 pwsle.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
4 pwsle.v . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.o . . . . 5 𝑂 = (le‘𝑅)
6 pwsle.l . . . . 5 = (le‘𝑌)
73, 4, 5, 6pwsle 16092 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
81, 2, 7syl2anc 692 . . 3 (𝜑 = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
98breqd 4634 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺𝐹( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10 pwsleval.a . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
11 pwsleval.b . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
12 brinxp 5152 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝑟 𝑂𝐺𝐹( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
1310, 11, 12syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑂𝐺𝐹( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
153, 14, 4, 1, 2, 10pwselbas 16089 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16 ffn 6012 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn 𝐼)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
183, 14, 4, 1, 2, 11pwselbas 16089 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 6012 . . . 4 (𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn 𝐼)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
21 inidm 3806 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
22 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
23 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2417, 20, 2, 2, 21, 22, 23ofrfval 6870 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)𝑂(𝐺𝑥)))
259, 13, 243bitr2d 296 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)𝑂(𝐺𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908   ∩ cin 3559   class class class wbr 4623   × cxp 5082   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ∘𝑟 cofr 6861  Basecbs 15800  lecple 15888   ↑s cpws 16047 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-prds 16048  df-pws 16050 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator