Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnmlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnmlem0 37141
Description: Zeroeth powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnmlem0.y 𝑌 = (𝑊s ∅)
Assertion
Ref Expression
pwslnmlem0 (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnmlem0
StepHypRef Expression
1 0ex 4750 . . 3 ∅ ∈ V
2 pwslnmlem0.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s ∅)
32pwslmod 18889 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ∈ V) → 𝑌 ∈ LMod)
41, 3mpan2 706 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LMod)
5 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
62, 5pwsbas 16068 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ∈ V) → ((Base‘𝑊) ↑𝑚 ∅) = (Base‘𝑌))
71, 6mpan2 706 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ↑𝑚 ∅) = (Base‘𝑌))
8 fvex 6158 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
9 map0e 7839 . . . . . 6 ((Base‘𝑊) ∈ V → ((Base‘𝑊) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((Base‘𝑊) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜
11 df1o2 7517 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
1210, 11eqtri 2643 . . . 4 ((Base‘𝑊) ↑𝑚 ∅) = {∅}
13 snfi 7982 . . . 4 {∅} ∈ Fin
1412, 13eqeltri 2694 . . 3 ((Base‘𝑊) ↑𝑚 ∅) ∈ Fin
157, 14syl6eqelr 2707 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
16 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1716filnm 37140 . 2 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
184, 15, 17syl2anc 692 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  c0 3891  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  Basecbs 15781  s cpws 16028  LModclmod 18784  LNoeMclnm 37125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lfig 37118  df-lnm 37126
This theorem is referenced by:  pwslnm  37144
  Copyright terms: Public domain W3C validator