MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmgp 18389
Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmgp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
pwsmgp.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p + = (+g𝑁)
pwsmgp.q = (+g𝑍)
Assertion
Ref Expression
pwsmgp ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2609 . . . . . 6 (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 eqid 2609 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
5 fvex 6097 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑅) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7 fnconstg 5990 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
87adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
91, 2, 3, 4, 6, 8prdsmgp 18381 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
109simpld 473 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
11 pwsmgp.n . . . . . 6 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
12 pwsmgp.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
13 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1412, 13pwsval 15917 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1514fveq2d 6091 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1611, 15syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1716fveq2d 6091 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
18 pwsmgp.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
19 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
20 fvex 6097 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) ∈ V
2119, 20eqeltri 2683 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V
22 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑀s 𝐼) = (𝑀s 𝐼)
23 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2422, 23pwsval 15917 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2521, 4, 24sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2619, 13mgpsca 18267 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
2726eqcomi 2618 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
29 fnmgp 18262 . . . . . . . . . 10 mulGrp Fn V
30 elex 3184 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32 fcoconst 6291 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3329, 31, 32sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3419sneqi 4135 . . . . . . . . . 10 {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
3534xpeq2i 5049 . . . . . . . . 9 (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
3633, 35syl6reqr 2662 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
3728, 36oveq12d 6544 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3825, 37eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3918, 38syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
4039fveq2d 6091 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4110, 17, 403eqtr4d 2653 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
42 pwsmgp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
43 pwsmgp.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
4441, 42, 433eqtr4g 2668 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
459simprd 477 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4616fveq2d 6091 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
4739fveq2d 6091 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4845, 46, 473eqtr4d 2653 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g𝑍))
49 pwsmgp.p . . 3 + = (+g𝑁)
50 pwsmgp.q . . 3 = (+g𝑍)
5148, 49, 503eqtr4g 2668 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → + = )
5244, 51jca 552 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  {csn 4124   × cxp 5025  ccom 5031   Fn wfn 5784  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  Scalarcsca 15719  Xscprds 15877  s cpws 15878  mulGrpcmgp 18260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-prds 15879  df-pws 15881  df-mgp 18261
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  18509  pwsco2rhm  18510  pwsdiagrhm  18584  evl1expd  19478
  Copyright terms: Public domain W3C validator