Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulrval 16345
 Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsplusgval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
pwsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
pwsmulrval.a · = (.r𝑅)
pwsmulrval.p = (.r𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2752 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 fvexd 6356 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 pwsplusgval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 pwsplusgval.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
6 fnconstg 6246 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8 pwsplusgval.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
9 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 16340 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
135, 4, 12syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6348 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14syl5eq 2798 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
168, 15eleqtrd 2833 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17 pwsplusgval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
1817, 15eleqtrd 2833 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19 eqid 2752 . . . 4 (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
201, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19prdsmulrval 16329 . . 3 (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))))
21 fvconst2g 6623 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
225, 21sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2322fveq2d 6348 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r𝑅))
24 pwsmulrval.a . . . . . 6 · = (.r𝑅)
2523, 24syl6eqr 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
2625oveqd 6822 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dva 4888 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2820, 27eqtrd 2786 . 2 (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
29 pwsmulrval.p . . . 4 = (.r𝑌)
3013fveq2d 6348 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3129, 30syl5eq 2798 . . 3 (𝜑 = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3231oveqd 6822 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33 fvexd 6356 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
34 fvexd 6356 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
35 eqid 2752 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3610, 35, 9, 5, 4, 8pwselbas 16343 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3736feqmptd 6403 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
3810, 35, 9, 5, 4, 17pwselbas 16343 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3938feqmptd 6403 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
404, 33, 34, 37, 39offval2 7071 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
4128, 32, 403eqtr4d 2796 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 · 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332  {csn 4313   ↦ cmpt 4873   × cxp 5256   Fn wfn 6036  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ∘𝑓 cof 7052  Basecbs 16051  .rcmulr 16136  Scalarcsca 16138  Xscprds 16300   ↑s cpws 16301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-hom 16160  df-cco 16161  df-prds 16302  df-pws 16304 This theorem is referenced by:  mpfmulcl  19729  mpfind  19730  evl1muld  19901  pf1mulcl  19912  ply1rem  24114  fta1glem2  24117  fta1blem  24119  plypf1  24159
 Copyright terms: Public domain W3C validator