Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulrval 16067
 Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsplusgval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
pwsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
pwsmulrval.a · = (.r𝑅)
pwsmulrval.p = (.r𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2626 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 fvex 6160 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 pwsplusgval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
6 pwsplusgval.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
7 fnconstg 6052 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
9 pwsplusgval.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
10 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 16062 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
146, 5, 13syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1514fveq2d 6154 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1610, 15syl5eq 2672 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
179, 16eleqtrd 2706 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18 pwsplusgval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
1918, 16eleqtrd 2706 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
20 eqid 2626 . . . 4 (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsmulrval 16051 . . 3 (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))))
22 fvconst2g 6422 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
236, 22sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2423fveq2d 6154 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r𝑅))
25 pwsmulrval.a . . . . . 6 · = (.r𝑅)
2624, 25syl6eqr 2678 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
2726oveqd 6622 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2827mpteq2dva 4709 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2921, 28eqtrd 2660 . 2 (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
30 pwsmulrval.p . . . 4 = (.r𝑌)
3114fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3230, 31syl5eq 2672 . . 3 (𝜑 = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3332oveqd 6622 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
34 fvex 6160 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
3534a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
36 fvex 6160 . . . 4 (𝐺𝑥) ∈ V
3736a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
38 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 16065 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4039feqmptd 6207 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 16065 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4241feqmptd 6207 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
435, 35, 37, 40, 42offval2 6868 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
4429, 33, 433eqtr4d 2670 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 · 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191  {csn 4153   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077   Fn wfn 5845  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ∘𝑓 cof 6849  Basecbs 15776  .rcmulr 15858  Scalarcsca 15860  Xscprds 16022   ↑s cpws 16023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-prds 16024  df-pws 16026 This theorem is referenced by:  mpfmulcl  19449  mpfind  19450  evl1muld  19621  pf1mulcl  19632  ply1rem  23822  fta1glem2  23825  fta1blem  23827  plypf1  23867
 Copyright terms: Public domain W3C validator