Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhm 17308
 Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 simp2 1060 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
4 fvexd 6170 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 fconst6g 6061 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
653ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7 simp3 1061 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdspjmhm 17307 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9 pwspjmhm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwspjmhm.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 16086 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13123adant3 1079 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6162 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14syl5eq 2667 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615mpteq1d 4708 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)))
17 fvconst2g 6432 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18173adant2 1078 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
1918eqcomd 2627 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
2013, 19oveq12d 6633 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
218, 16, 203eltr4d 2713 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190  {csn 4155   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884  Xscprds 16046   ↑s cpws 16047  Mndcmnd 17234   MndHom cmhm 17273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275 This theorem is referenced by:  pwsmulg  17527
 Copyright terms: Public domain W3C validator