Theorem pwsplusgval 16765

Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
pwsplusgval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem pwsplusgval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		fvexd 6687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		fnconstg 6569	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 16761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	5, 4, 12	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	8, 15	eleqtrd 2917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	17, 15	eleqtrd 2917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
20	1, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19	prdsplusgval 16748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
21		fvconst2g 6966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
22	5, 21	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (+g‘𝑅))
24		pwsplusgval.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
25	23, 24	syl6eqr 2876	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = + )
26	25	oveqd 7175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 5163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
28	20, 27	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
29		pwsplusgval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
30	13	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
31	29, 30	syl5eq 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
32	31	oveqd 7175	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33		fvexd 6687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
34		fvexd 6687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
35		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	10, 35, 9, 5, 4, 8	pwselbas 16764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6735	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	10, 35, 9, 5, 4, 17	pwselbas 16764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6735	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
40	4, 33, 34, 37, 39	offval2 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
41	28, 32, 40	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  {csn 4569   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555   Fn wfn 6352  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570  X_scprds 16721   ↑_s cpws 16722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-prds 16723  df-pws 16725

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17997  pwsco1mhm  17998  pwsco2mhm  17999  pwssub  18215  pwssplit2  19834  mpfaddcl  20320  mpfind  20322  evl1addd  20506  pf1addcl  20518  frlmplusgval  20910  ply1rem  24759