MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsplusgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsplusgval 16131
Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsplusgval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
pwsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
pwsplusgval.a + = (+g𝑅)
pwsplusgval.p = (+g𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsplusgval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))

Proof of Theorem pwsplusgval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2620 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 fvexd 6190 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 pwsplusgval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 pwsplusgval.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
6 fnconstg 6080 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8 pwsplusgval.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
9 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 16127 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
135, 4, 12syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6182 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14syl5eq 2666 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
168, 15eleqtrd 2701 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17 pwsplusgval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
1817, 15eleqtrd 2701 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19 eqid 2620 . . . 4 (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
201, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19prdsplusgval 16114 . . 3 (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))))
21 fvconst2g 6452 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
225, 21sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2322fveq2d 6182 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (+g𝑅))
24 pwsplusgval.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
2523, 24syl6eqr 2672 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = + )
2625oveqd 6652 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dva 4735 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2820, 27eqtrd 2654 . 2 (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
29 pwsplusgval.p . . . 4 = (+g𝑌)
3013fveq2d 6182 . . . 4 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3129, 30syl5eq 2666 . . 3 (𝜑 = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3231oveqd 6652 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33 fvexd 6190 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
34 fvexd 6190 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
35 eqid 2620 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3610, 35, 9, 5, 4, 8pwselbas 16130 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3736feqmptd 6236 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
3810, 35, 9, 5, 4, 17pwselbas 16130 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3938feqmptd 6236 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
404, 33, 34, 37, 39offval2 6899 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
4128, 32, 403eqtr4d 2664 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  {csn 4168  cmpt 4720   × cxp 5102   Fn wfn 5871  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑓 cof 6880  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Scalarcsca 15925  Xscprds 16087  s cpws 16088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-prds 16089  df-pws 16091
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17350  pwsco1mhm  17351  pwsco2mhm  17352  pwssub  17510  pwssplit2  19041  mpfaddcl  19515  mpfind  19517  evl1addd  19686  pf1addcl  19698  frlmplusgval  20088  ply1rem  23904
  Copyright terms: Public domain W3C validator