Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssfi 38693
Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwssfi (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2 elpwi 4140 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥𝐴)
4 ssfi 8124 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
51, 3, 4syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
65ralrimiva 2960 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
7 dfss3 3573 . . . 4 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
86, 7sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
98a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
10 pwidg 4144 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
127biimpi 206 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
14 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
1514rspcva 3293 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1611, 13, 15syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1716ex 450 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
189, 17impbid 202 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wral 2907  wss 3555  𝒫 cpw 4130  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-om 7013  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator