Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssnf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssnf1o 16139
 Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssnf1o.y 𝑌 = (𝑅s {𝐼})
pwssnf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssnf1o ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o
StepHypRef Expression
1 pwssnf1o.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 fvex 6188 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2695 . . 3 𝐵 ∈ V
4 simpr 477 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
5 pwssnf1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
65mapsnf1o 7934 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 {𝐼}))
73, 4, 6sylancr 694 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 {𝐼}))
8 snex 4899 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
9 pwssnf1o.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s {𝐼})
109, 1pwsbas 16128 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
118, 10mpan2 706 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐵𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
1211adantr 481 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
13 pwssnf1o.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑌)
1412, 13syl6reqr 2673 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐶 = (𝐵𝑚 {𝐼}))
15 f1oeq3 6116 . . 3 (𝐶 = (𝐵𝑚 {𝐼}) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 {𝐼})))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 {𝐼})))
177, 16mpbird 247 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195  {csn 4168   ↦ cmpt 4720   × cxp 5102  –1-1-onto→wf1o 5875  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↑𝑚 cmap 7842  Basecbs 15838   ↑s cpws 16088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-prds 16089  df-pws 16091 This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  37481
 Copyright terms: Public domain W3C validator