MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit0 18990
Description: Splitting for structure powers, part 0: restriction is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit0 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit0
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 pwssplit1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3pwselbasb 16080 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋) → (𝑥𝐵𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
543adant3 1079 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥𝐵𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
65biimpa 501 . . . 4 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊))
7 simpl3 1064 . . . 4 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑉𝑈)
86, 7fssresd 6033 . . 3 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊))
9 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊𝑇)
10 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
11 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
1210, 11ssexd 4770 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
13 pwssplit1.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
14 pwssplit1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑍)
1513, 2, 14pwselbasb 16080 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
169, 12, 15syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1716adantr 481 . . 3 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
188, 17mpbird 247 . 2 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ 𝐶)
19 pwssplit1.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
2018, 19fmptd 6346 1 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  cmpt 4678  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  s cpws 16039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-hom 15898  df-cco 15899  df-prds 16040  df-pws 16042
This theorem is referenced by:  pwssplit1  18991  pwssplit2  18992  pwssplit3  18993
  Copyright terms: Public domain W3C validator