MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit1 18978
Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . 3 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 pwssplit1.z . . 3 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
3 pwssplit1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 pwssplit1.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
5 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
61, 2, 3, 4, 5pwssplit0 18977 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
7 simp1 1059 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
108, 9ssexd 4765 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
122, 11, 4pwselbasb 16069 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
137, 10, 12syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1413biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) ∈ V
1615fconst 6048 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)}
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)})
18 simpl1 1062 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2011, 19mndidcl 17229 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221snssd 4309 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → {(0g𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
2317, 22fssd 6014 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24 disjdif 4012 . . . . . . . 8 (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅)
26 fun 6023 . . . . . . 7 (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
2714, 23, 25, 26syl21anc 1322 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑉𝑈)
29 undif 4021 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
3028, 29sylib 208 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
31 unidm 3734 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
3330, 32feq23d 5997 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3427, 33mpbid 222 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑈𝑋)
361, 11, 3pwselbasb 16069 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3718, 35, 36syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3834, 37mpbird 247 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵)
395fvtresfn 6241 . . . . . 6 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
41 resundir 5370 . . . . . . 7 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉))
42 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43 fnresdm 5958 . . . . . . . . 9 (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎𝑉) = 𝑎)
4414, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎𝑉) = 𝑎)
45 incom 3783 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = (𝑉 ∩ (𝑈𝑉))
4645, 24eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
47 fnconstg 6050 . . . . . . . . . . 11 ((0g𝑊) ∈ V → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉))
4815, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉)
49 fnresdisj 5959 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
5146, 50mpbii 223 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
5244, 51uneq12d 3746 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
5341, 52syl5eq 2667 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
54 un0 3939 . . . . . 6 (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
5553, 54syl6eq 2671 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
5640, 55eqtr2d 2656 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
57 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
5857eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})))))
5958rspcev 3295 . . . 4 (((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})))) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
6038, 56, 59syl2anc 692 . . 3 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
6160ralrimiva 2960 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
62 dffo3 6330 . 2 (𝐹:𝐵onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏)))
636, 61, 62sylanbrc 697 1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148  cmpt 4673   × cxp 5072  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  0gc0g 16021  s cpws 16028  Mndcmnd 17215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  37140
  Copyright terms: Public domain W3C validator