MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit2 19183
Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 pwssplit1.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑍)
3 eqid 2724 . 2 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 eqid 2724 . 2 (+g𝑍) = (+g𝑍)
5 simp1 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simp2 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
7 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
87pwsgrp 17649 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10 simp3 1130 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
116, 10ssexd 4913 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1312pwsgrp 17649 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
145, 11, 13syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 19181 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
17 offres 7280 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
1817adantl 473 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
195adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20 simpl2 1206 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
21 simprl 811 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
22 simprr 813 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
23 eqid 2724 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 16273 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏))
2524reseq1d 5502 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑓 (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
2615fvtresfn 6398 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝑎𝑉))
2715fvtresfn 6398 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
2826, 27oveqan12d 6784 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
2928adantl 473 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
3018, 25, 293eqtr4d 2768 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
311, 3grpcl 17552 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32313expb 1113 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
339, 32sylan 489 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
3415fvtresfn 6398 . . . 4 ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3611adantr 472 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
3716ffvelrnda 6474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3837adantrr 755 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3916ffvelrnda 6474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4039adantrl 754 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 16273 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑎) ∘𝑓 (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
4230, 35, 413eqtr4d 2768 . 2 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)))
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 17791 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680  cmpt 4837  cres 5220  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  s cpws 16230  Grpcgrp 17544   GrpHom cghm 17779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-prds 16231  df-pws 16233  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-ghm 17780
This theorem is referenced by:  pwssplit3  19184
  Copyright terms: Public domain W3C validator