MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit3 18824
Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 eqid 2605 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
3 eqid 2605 . 2 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
4 eqid 2605 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5 eqid 2605 . 2 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6 eqid 2605 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7 simp1 1053 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp2 1054 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
109pwslmod 18733 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
117, 8, 10syl2anc 690 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12 simp3 1055 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
138, 12ssexd 4724 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1514pwslmod 18733 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
167, 13, 15syl2anc 690 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17 eqid 2605 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1814, 17pwssca 15921 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
197, 13, 18syl2anc 690 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
209, 17pwssca 15921 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
217, 8, 20syl2anc 690 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
2219, 21eqtr3d 2641 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23 lmodgrp 18635 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24 pwssplit1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑍)
25 pwssplit1.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
269, 14, 1, 24, 25pwssplit2 18823 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
2723, 26syl3an1 1350 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28 snex 4826 . . . . . . . 8 {𝑎} ∈ V
29 xpexg 6831 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
308, 28, 29sylancl 692 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31 vex 3171 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
32 offres 7027 . . . . . . 7 (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3330, 31, 32sylancl 692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3433adantr 479 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
35 xpssres 5337 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36353ad2ant3 1076 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
3736adantr 479 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
3837oveq1d 6538 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3934, 38eqtrd 2639 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
40 eqid 2605 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
41 eqid 2605 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42 simpl1 1056 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43 simpl2 1057 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
4421fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4544eleq2d 2668 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
4645biimpar 500 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantrr 748 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48 simprr 791 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
499, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48pwsvscafval 15919 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏))
5049reseq1d 5299 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
5125fvtresfn 6174 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
5251ad2antll 760 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
5352oveq2d 6539 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
5439, 50, 533eqtr4d 2649 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)))
551, 4, 2, 6lmodvscl 18645 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56553expb 1257 . . . . 5 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
5711, 56sylan 486 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
5825fvtresfn 6174 . . . 4 ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
5957, 58syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
6013adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
619, 14, 1, 24, 25pwssplit0 18821 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
6261ffvelrnda 6248 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
6362adantrl 747 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
6414, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63pwsvscafval 15919 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)))
6554, 59, 643eqtr4d 2649 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑍)(𝐹𝑏)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65islmhmd 18802 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  wss 3535  {csn 4120  cmpt 4633   × cxp 5022  cres 5026  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713   ·𝑠 cvsca 15714  s cpws 15872  Grpcgrp 17187   GrpHom cghm 17422  LModclmod 18628   LMHom clmhm 18782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-ghm 17423  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-lmod 18630  df-lmhm 18785
This theorem is referenced by:  frlmsplit2  19869  pwssplit4  36476  pwslnmlem2  36480
  Copyright terms: Public domain W3C validator