Theorem pwsvscafval 16759

Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		pwsvscaval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		pwsvscaval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwsvscaval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsvscaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 16751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	1, 8	syl5eq 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	oveqd 7165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋))
11		eqid 2819	. . 3 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))
12		eqid 2819	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		eqid 2819	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
14		pwsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	5	fvexi 6677	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		fnconstg 6560	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
18	2, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
19		pwsvscaval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		pwsvscaval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
22	7	fveq2d 6667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
23	21, 22	syl5eq 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
24	20, 23	eleqtrd 2913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	11, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24	prdsvscaval 16744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))))
26		fvconst2g 6957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
27	2, 26	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
28	27	fveq2d 6667	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘𝑅))
29		pwsvscaval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
30	28, 29	syl6eqr 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
31	30	oveqd 7165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑋‘𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
33	19	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
34		fvexd 6678	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ V)
35		fconstmpt 5607	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	4, 37, 21, 2, 3, 20	pwselbas 16754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
40	3, 33, 34, 36, 39	offval2 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
41	32, 40	eqtr4d 2857	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
42	10, 25, 41	3eqtrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493  {csn 4559   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546   Fn wfn 6343  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∘_f cof 7399  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  X_scprds 16711   ↑_s cpws 16712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-prds 16713  df-pws 16715

This theorem is referenced by:  pwsvscaval  16760  pwsdiaglmhm  19821  pwssplit3  19825  frlmvscafval  20902