MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qaa 23796
Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qaa (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qcn 11631 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 qsscn 11628 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℂ
3 1z 11237 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
4 zq 11623 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℚ
6 plyid 23683 . . . . . . 7 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
72, 5, 6mp2an 703 . . . . . 6 Xp ∈ (Poly‘ℚ)
87a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9 plyconst 23680 . . . . . 6 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
102, 9mpan 701 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11 qaddcl 11633 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
1211adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13 qmulcl 11635 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
1413adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15 qnegcl 11634 . . . . . . 7 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 -1 ∈ ℚ
1716a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
188, 10, 12, 14, 17plysub 23693 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19 peano2cn 10056 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21 fnresi 5905 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22 df-idp 23663 . . . . . . . . . . . 12 Xp = ( I ↾ ℂ)
2322fneq1i 5882 . . . . . . . . . . 11 (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
2421, 23mpbir 219 . . . . . . . . . 10 Xp Fn ℂ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26 fnconstg 5988 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27 cnex 9870 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29 inidm 3780 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
3022fveq1i 6086 . . . . . . . . . . 11 (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31 fvresi 6319 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3230, 31syl5eq 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3332adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34 fvconst2g 6347 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
3525, 26, 28, 28, 29, 33, 34ofval 6778 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
3620, 35mpdan 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37 ax-1cn 9847 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
38 pncan2 10136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
391, 37, 38sylancl 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
4036, 39eqtrd 2640 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41 ax-1ne0 9858 . . . . . . 7 1 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
4340, 42eqnetrd 2845 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44 ne0p 23681 . . . . 5 (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
4520, 43, 44syl2anc 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46 eldifsn 4256 . . . 4 ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
4718, 45, 46sylanbrc 694 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4822fveq1i 6086 . . . . . . . 8 (Xp𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49 fvresi 6319 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
5048, 49syl5eq 2652 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (Xp𝐴) = 𝐴)
5150adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp𝐴) = 𝐴)
52 fvconst2g 6347 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
5325, 26, 28, 28, 29, 51, 52ofval 6778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
541, 53mpdan 698 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
551subidd 10228 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴𝐴) = 0)
5654, 55eqtrd 2640 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57 fveq1 6084 . . . . 5 (𝑓 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓𝐴) = ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
5857eqeq1d 2608 . . . 4 (𝑓 = (Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
5958rspcev 3278 . . 3 (((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp𝑓 − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
6047, 56, 59syl2anc 690 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
61 elqaa 23795 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
621, 60, 61sylanbrc 694 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wrex 2893  Vcvv 3169  cdif 3533  wss 3536  {csn 4121   I cid 4935   × cxp 5023  cres 5027   Fn wfn 5782  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cmin 10114  -cneg 10115  cz 11207  cq 11617  0𝑝c0p 23156  Polycply 23658  Xpcidp 23659  𝔸caa 23787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-0p 23157  df-ply 23662  df-idp 23663  df-coe 23664  df-dgr 23665  df-aa 23788
This theorem is referenced by:  qssaa  23797
  Copyright terms: Public domain W3C validator