MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qabvle 25209
Description: By using induction on 𝑁, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
qabvle ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
31, 2breq12d 4631 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘0) ≤ 0))
43imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)))
5 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
6 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
75, 6breq12d 4631 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛))
87imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)))
9 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑘 = (𝑛 + 1) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
119, 10breq12d 4631 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
1211imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
13 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
14 id 22 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑁)
1513, 14breq12d 4631 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑘 ↔ (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
1615imbi2d 330 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑘) ≤ 𝑘) ↔ (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)))
17 qabsabv.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
18 qrng.q . . . . . 6 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1918qrng0 25205 . . . . 5 0 = (0g𝑄)
2017, 19abv0 18747 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
21 0le0 11055 . . . 4 0 ≤ 0
2220, 21syl6eqbr 4657 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) ≤ 0)
23 nn0p1nn 11277 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
25 nnq 11745 . . . . . . . . 9 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
2718qrngbas 25203 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
2817, 27abvcl 18740 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
2926, 28syldan 487 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
30 nn0z 11345 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3130ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
32 zq 11738 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℚ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℚ)
3417, 27abvcl 18740 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3533, 34syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
36 peano2re 10154 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ∈ ℝ)
3831zred 11426 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 peano2re 10154 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
41 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 𝐹𝐴)
42 1z 11352 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
43 zq 11738 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℚ)
45 qex 11744 . . . . . . . . . . 11 ℚ ∈ V
46 cnfldadd 19665 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
4718, 46ressplusg 15909 . . . . . . . . . . 11 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑄)
4917, 27, 48abvtri 18746 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
5041, 33, 44, 49syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)))
51 ax-1ne0 9950 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
5218qrng1 25206 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r𝑄)
5317, 52, 19abv1z 18748 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
5451, 53mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → (𝐹‘1) = 1)
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘1) = 1)
5655oveq2d 6621 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + (𝐹‘1)) = ((𝐹𝑛) + 1))
5750, 56breqtrd 4644 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ ((𝐹𝑛) + 1))
58 1red 10000 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)
6035, 38, 58, 59leadd1dd 10586 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → ((𝐹𝑛) + 1) ≤ (𝑛 + 1))
6129, 37, 40, 57, 60letrd 10139 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑛) ≤ 𝑛)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))
6261expr 642 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1)))
6362expcom 451 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → ((𝐹𝑛) ≤ 𝑛 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
6463a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹𝐴 → (𝐹𝑛) ≤ 𝑛) → (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝑛 + 1))))
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 11416 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐴 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁))
6665impcom 446 1 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cle 10020  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cq 11732  s cress 15777  +gcplusg 15857  AbsValcabv 18732  fldccnfld 19660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-ico 12120  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-abv 18733  df-cnfld 19661
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  25218  ostth2  25221
  Copyright terms: Public domain W3C validator