Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qcvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qcvs 23143
 Description: The field of rational numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qcvs.q 𝑄 = (ringLMod‘(ℂflds ℚ))
Assertion
Ref Expression
qcvs 𝑄 ∈ ℂVec

Proof of Theorem qcvs
StepHypRef Expression
1 qsubdrg 19996 . . . . . 6 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2 drngring 18952 . . . . . . 7 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (ℂflds ℚ) ∈ Ring)
32adantl 473 . . . . . 6 ((ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing) → (ℂflds ℚ) ∈ Ring)
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℚ) ∈ Ring
5 rlmlmod 19403 . . . . 5 ((ℂflds ℚ) ∈ Ring → (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LMod)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LMod
71simpri 481 . . . . 5 (ℂflds ℚ) ∈ DivRing
8 rlmsca 19398 . . . . . 6 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (ℂflds ℚ) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))))
98eqcomd 2762 . . . . 5 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (ℂflds ℚ))
107, 9ax-mp 5 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (ℂflds ℚ)
111simpli 476 . . . 4 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12 eqid 2756 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ)))
1312isclmi 23073 . . . 4 (((ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘(ℂflds ℚ))) = (ℂflds ℚ) ∧ ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ ℂMod)
146, 10, 11, 13mp3an 1569 . . 3 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ ℂMod
15 rlmlvec 19404 . . . 4 ((ℂflds ℚ) ∈ DivRing → (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LVec)
167, 15ax-mp 5 . . 3 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ LVec
1714, 16elini 3936 . 2 (ringLMod‘(ℂflds ℚ)) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
18 qcvs.q . 2 𝑄 = (ringLMod‘(ℂflds ℚ))
19 df-cvs 23120 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2017, 18, 193eltr4i 2848 1 𝑄 ∈ ℂVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ∩ cin 3710  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  ℚcq 11977   ↾s cress 16056  Scalarcsca 16142  Ringcrg 18743  DivRingcdr 18945  SubRingcsubrg 18974  LModclmod 19061  LVecclvec 19300  ringLModcrglmod 19367  ℂfldccnfld 19944  ℂModcclm 23058  ℂVecccvs 23119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-addf 10203  ax-mulf 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-subg 17788  df-cmn 18391  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-cring 18746  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lvec 19301  df-sra 19370  df-rgmod 19371  df-cnfld 19945  df-clm 23059  df-cvs 23120 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator