MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qdensere 22513
Description: is dense in the standard topology on . (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 22505 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 qssre 11758 . . 3 ℚ ⊆ ℝ
3 uniretop 22506 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
43clsss3 20803 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
51, 2, 4mp2an 707 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6 ioof 12229 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7 ffn 6012 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8 ovelrn 6775 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10 elioo3g 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑤)))
1110simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
1211simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1411simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
1514ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16 qre 11753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
1716ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817rexrd 10049 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1913, 15, 183jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
21 elioo3g 12162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)))
2219, 20, 21sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24 inelcm 4010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
2522, 23, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
2611simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 eliooord 12191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑤))
2827simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
2927simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
3012, 26, 14, 28, 29xrlttrd 11950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31 qbtwnxr 11990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
3212, 14, 30, 31syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
3325, 32r19.29a 3073 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36 ineq1 3791 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
3736neeq1d 2849 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
3834, 35, 373imtr4d 283 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
3938rexlimivw 3024 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
4039rexlimivw 3024 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
419, 40sylbi 207 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
4241rgen 2918 . . . 4 𝑦 ∈ ran (,)(𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43 eqidd 2622 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
443a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = (topGen‘ran (,)))
45 retopbas 22504 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
4645a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
472a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
4943, 44, 46, 47, 48elcls3 20827 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
5042, 49mpbiri 248 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
5150ssriv 3592 . 2 ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
525, 51eqssi 3604 1 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  cin 3559  wss 3560  c0 3897  𝒫 cpw 4136   cuni 4409   class class class wbr 4623   × cxp 5082  ran crn 5085   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  *cxr 10033   < clt 10034  cq 11748  (,)cioo 12133  topGenctg 16038  Topctop 20638  TopBasesctb 20689  clsccl 20762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-ioo 12137  df-topgen 16044  df-top 20639  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765
This theorem is referenced by:  qdensere2  22540  resscdrg  23094  ipasslem8  27580  rrhcn  29865  rrhre  29889
  Copyright terms: Public domain W3C validator