Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qerclwwlksnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qerclwwlksnfi 26823
 Description: The quotient set of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length according to the equivalence relation ∼ is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlksn.w 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlksn.r = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
qerclwwlksnfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem qerclwwlksnfi
StepHypRef Expression
1 erclwwlksn.w . . . 4 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2 clwwlksnfi 26786 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
31, 2syl5eqel 2702 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
4 pwfi 8208 . . 3 (𝑊 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑊 ∈ Fin)
53, 4sylib 208 . 2 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝒫 𝑊 ∈ Fin)
6 erclwwlksn.r . . . . 5 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
71, 6erclwwlksn 26822 . . . 4 Er 𝑊
87a1i 11 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → Er 𝑊)
98qsss 7756 . 2 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ⊆ 𝒫 𝑊)
105, 9ssfid 8130 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  𝒫 cpw 4132  {copab 4674  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   Er wer 7687   / cqs 7689  Fincfn 7902  0cc0 9883  ...cfz 12271   cyclShift ccsh 13474  Vtxcvtx 25781   ClWWalksN cclwwlksn 26750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-ec 7692  df-qs 7696  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-word 13241  df-concat 13243  df-substr 13245  df-csh 13475  df-clwwlks 26751  df-clwwlksn 26752 This theorem is referenced by:  fusgrhashclwwlkn  26829  clwwlksndivn  26830
 Copyright terms: Public domain W3C validator