MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexpz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qexpz 15529
Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qexpz ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . 2 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
2 simpll2 1099 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
32nncnd 10980 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
43mul01d 10179 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
5 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6 simpll3 1100 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
7 simpll1 1098 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 qcn 11746 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 791 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
112nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
129, 10, 11expne0d 12954 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
13 pczcl 15477 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) ∈ ℕ0)
145, 6, 12, 13syl12anc 1321 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11298 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)))
16 pcexp 15488 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
175, 7, 10, 11, 16syl121anc 1328 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
1815, 17breqtrd 4639 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
194, 18eqbrtrd 4635 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
20 0red 9985 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
21 pcqcl 15485 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
225, 7, 10, 21syl12anc 1321 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2322zred 11426 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
242nnred 10979 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
252nngt0d 11008 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
26 lemul2 10820 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
2720, 23, 24, 25, 26syl112anc 1327 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
2819, 27mpbird 247 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
2928ralrimiva 2960 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
30 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
31 pcz 15509 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
3230, 31syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
3329, 32mpbird 247 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
34 0zd 11333 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
351, 33, 34pm2.61ne 2875 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cq 11732  cexp 12800  cprime 15309   pCnt cpc 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator