Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrn 39856
 Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrn.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrn (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn
Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrn.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxtop 39846 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5 reex 9987 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
6 qssre 11758 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
7 mapss 7860 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
85, 6, 7mp2an 707 . . . . . 6 (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼)
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10 eqid 2621 . . . . . . . 8 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
121, 10, 11rrxbasefi 39840 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
1312eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14 rrxtps 39841 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15 eqid 2621 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1611, 15tpsuni 20680 . . . . . . 7 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
171, 14, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
182unieqi 4418 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1918eqcomi 2630 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽)
2113, 17, 203eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐽)
229, 21sseqtrd 3626 . . . 4 (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽)
23 eqid 2621 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2423clsss3 20803 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ 𝐽)
254, 22, 24syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ 𝐽)
2621eqcomd 2627 . . 3 (𝜑 𝐽 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2725, 26sseqtrd 3626 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
281ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐽𝑣𝐽)
3029, 2syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣𝐽𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
3130ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32 ne0i 3903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑣𝑣 ≠ ∅)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
3428, 15, 31, 33qndenserrnopn 39855 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑣)
35 df-rex 2914 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦𝑣)
38 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼))
3937, 38elind 3782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
4140eximdv 1843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
43 n0 3913 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
4442, 43sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)
4544ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
4645adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
4746ralrimiva 2962 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
484adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
4922adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽)
50 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5121adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = 𝐽)
5250, 51eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 𝐽)
5323elcls 20817 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ 𝐽𝑥 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
5448, 49, 52, 53syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
5547, 54mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
5655ralrimiva 2962 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
57 dfss3 3578 . . 3 ((ℝ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
5856, 57sylibr 224 . 2 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
5927, 58eqssd 3605 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  Vcvv 3190   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  ∪ cuni 4409  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↑𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  ℝcr 9895  ℚcq 11748  Basecbs 15800  TopOpenctopn 16022  Topctop 20638  TopSpctps 20676  clsccl 20762  ℝ^crrx 23111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-field 18690  df-subrg 18718  df-abv 18757  df-staf 18785  df-srng 18786  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lmhm 18962  df-lvec 19043  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-refld 19891  df-phl 19911  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-xms 22065  df-ms 22066  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-tng 22329  df-nrg 22330  df-nlm 22331  df-clm 22803  df-cph 22908  df-tch 22909  df-rrx 23113 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator