Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbllem 41017
 Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbllem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbllem.n (𝜑𝐼 ≠ ∅)
qndenserrnbllem.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
qndenserrnbllem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbllem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbllem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnbllem
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnbllem.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 inss1 3976 . . . . . 6 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ
3 qex 11993 . . . . . 6 ℚ ∈ V
4 ssexg 4956 . . . . . 6 (((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ ∧ ℚ ∈ V) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 710 . . . . 5 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
7 qndenserrnbllem.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
8 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
11 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
1210, 11ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ)
1312rexrd 10281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
14 qndenserrnbllem.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1514rpred 12065 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1615adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
17 ne0i 4064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐼𝐼 ≠ ∅)
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
19 hashnncl 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2218, 21mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
2322nnred 11227 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
24 0red 10233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ∈ ℝ)
2522nngt0d 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (♯‘𝐼))
2624, 23, 25ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
2723, 26resqrtcld 14355 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
2823, 25elrpd 12062 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
2928sqrtgt0d 14350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
3024, 29gtned 10364 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
3116, 27, 30redivcld 11045 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
3212, 31readdcld 10261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
3332rexrd 10281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
3414adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
3527, 29elrpd 12062 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
3634, 35rpdivcld 12082 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
3712, 36ltaddrpd 12098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
38 qbtwnxr 12224 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑘) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
3913, 33, 37, 38syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
40 df-rex 3056 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
4139, 40sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
42 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℚ)
4313adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
4433adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
45 qre 11986 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
4645ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℝ)
47 simprrl 823 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) < 𝑞)
48 simprrr 824 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
4943, 44, 46, 47, 48eliood 40223 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
5042, 49elind 3941 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5150ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5251eximdv 1995 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5341, 52mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
54 n0 4074 . . . . 5 ((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5553, 54sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅)
561, 6, 55choicefi 39891 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 Fn 𝐼 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ)
5857sseld 3743 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 Fn 𝐼 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
5958ralimdv 3101 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Fn 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6059imdistani 728 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
61 ffnfv 6551 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℚ ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6260, 61sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
6362adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
643a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℚ ∈ V)
65 elmapg 8036 . . . . . . . . 9 ((ℚ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6664, 1, 65syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6766adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6863, 67mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼))
69 reex 10219 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
7045ssriv 3748 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
71 mapss 8066 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
7269, 70, 71mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
7473, 68sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
751adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ∈ Fin)
76 qndenserrnbllem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
7776adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ≠ ∅)
78 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐼) = (♯‘𝐼)
797adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
80 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝜑)
81 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦𝑘) = (𝑦𝑖))
82 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
8382oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
8482, 83oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) = ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
8584ineq2d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) = (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8681, 85eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
8786cbvralv 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8887biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8988adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
90 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
91 rspa 3068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9289, 90, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9392adantll 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
94 elinel2 3943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
96 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
979ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
98973adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
99 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
10099elioored 40279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ℝ)
10198rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ*)
10215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
10376, 20mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
104103nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
106 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
107103nngt0d 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 < (♯‘𝐼))
108106, 104, 107ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
110105, 109resqrtcld 14355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
111 sqrtgt0 14198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐼) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐼)) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
112104, 107, 111syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
113106, 112gtned 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
115102, 110, 114redivcld 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
11697, 115readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
117116rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
1181173adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
119 ioogtlb 40220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
120101, 118, 99, 119syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
12198, 100, 120ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ≤ (𝑦𝑖))
12298, 100, 121abssuble0d 14370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) = ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)))
1231163adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
124 iooltub 40238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
125101, 118, 99, 124syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
126100, 123, 98, 125ltsub1dd 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)))
12798recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
128104, 108resqrtcld 14355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
12915, 128, 113redivcld 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
130129recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
1311303ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
132127, 131pncan2d 10586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
133126, 132breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
134122, 133eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13580, 95, 96, 134syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
136135adantlrl 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13714adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
138104, 107elrpd 12062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
139138adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 14349 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
141137, 140rpdivcld 12082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
142 qndenserrnbllem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14375, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142rrndistlt 41013 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
144137rpcnd 12067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℂ)
145139rpcnd 12067 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
146145sqrtcld 14375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
147140rpne0d 12070 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
148144, 146, 147divcan2d 10995 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = 𝐸)
149143, 148breqtrd 4830 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)
15074, 149jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸))
151142rrxmetfi 41010 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
1521, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
153 metxmet 22340 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
15515rexrd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
156 elbl 22394 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
157154, 7, 155, 156syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
158157adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
159150, 158mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
16068, 159jca 555 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
161160ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
162161eximdv 1995 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
16356, 162mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
164 df-rex 3056 . 2 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
165163, 164sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131   · cmul 10133  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  ℚcq 11981  ℝ+crp 12025  (,)cioo 12368  ♯chash 13311  √csqrt 14172  abscabs 14173  distcds 16152  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934  ballcbl 19935  ℝ^crrx 23371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-field 18952  df-subrg 18980  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-cnfld 19949  df-refld 20153  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-nm 22588  df-tng 22590  df-tch 23169  df-rrx 23373 This theorem is referenced by:  qndenserrnbl  41018
 Copyright terms: Public domain W3C validator