Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnopnlem 39811
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnopnlem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnopnlem.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnopnlem.v (𝜑𝑉𝐽)
qndenserrnopnlem.x (𝜑𝑋𝑉)
qndenserrnopnlem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrnopnlem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑉)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑦,𝐼   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnopnlem
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnopnlem.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrnopnlem.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxmetfi 39801 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
5 metxmet 22044 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
7 qndenserrnopnlem.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝐽)
8 qndenserrnopnlem.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
97, 8syl6eleq 2714 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
101rrxtopnfi 39800 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
112a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
12 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 39799 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
151, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1611, 15eqtr2d 2661 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = 𝐷)
1716fveq2d 6154 . . . . 5 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))) = (MetOpen‘𝐷))
1810, 17eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘𝐷))
199, 18eleqtrd 2706 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (MetOpen‘𝐷))
20 qndenserrnopnlem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
21 eqid 2626 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2221mopni2 22203 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑉 ∈ (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉)
236, 19, 20, 22syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉)
2413ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝐼 ∈ Fin)
25 rrxtps 39798 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
27 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
2827, 8istps 20646 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
2926, 28sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
301, 12, 27rrxbasefi 39797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
3130fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))) = (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
3229, 31eleqtrd 2706 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
33 toponss 20639 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑉𝐽) → 𝑉 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
3432, 7, 33syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
3534, 20sseldd 3589 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
36353ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
37 simp2 1060 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3824, 36, 2, 37qndenserrnbl 39809 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒))
39 ssel 3582 . . . . . . . 8 ((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
4039adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
41403ad2antl3 1223 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → 𝑦𝑉))
4241reximdva 3016 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑉))
4338, 42mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑉)
44433exp 1261 . . 3 (𝜑 → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑉)))
4544rexlimdv 3028 . 2 (𝜑 → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘𝐷)𝑒) ⊆ 𝑉 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑉))
4623, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913  wss 3560  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  cr 9880  cmin 10211  2c2 11015  cq 11732  +crp 11776  cexp 12797  csqrt 13902  Σcsu 14345  Basecbs 15776  distcds 15866  TopOpenctopn 15998  ∞Metcxmt 19645  Metcme 19646  ballcbl 19647  MetOpencmopn 19650  TopOnctopon 20613  TopSpctps 20614  ℝ^crrx 23074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-rnghom 18631  df-drng 18665  df-field 18666  df-subrg 18694  df-abv 18733  df-staf 18761  df-srng 18762  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lmhm 18936  df-lvec 19017  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-refld 19865  df-phl 19885  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-xms 22030  df-ms 22031  df-nm 22292  df-ngp 22293  df-tng 22294  df-nrg 22295  df-nlm 22296  df-clm 22766  df-cph 22871  df-tch 22872  df-rrx 23076
This theorem is referenced by:  qndenserrnopn  39812
  Copyright terms: Public domain W3C validator