MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qnegcl 12353
Description: Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnegcl (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem qnegcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12338 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 11634 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
6 nnne0 11659 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
83, 5, 7divnegd 11417 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) = (-𝑥 / 𝑦))
9 znegcl 12005 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
10 znq 12340 . . . . . 6 ((-𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
119, 10sylan 580 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
128, 11eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
13 negeq 10866 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 = -(𝑥 / 𝑦))
1413eleq1d 2894 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (-𝐴 ∈ ℚ ↔ -(𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
1512, 14syl5ibrcom 248 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ))
1615rexlimivv 3289 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → -𝐴 ∈ ℚ)
171, 16sylbi 218 1 (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  cq 12336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-z 11970  df-q 12337
This theorem is referenced by:  qsubcl  12355  pcadd2  16214  qsubdrg  20525  vitalilem1  24136  qaa  24839  numdenneg  30459  3cubes  39165  rmxyneg  39395  mpaaeu  39628
  Copyright terms: Public domain W3C validator