Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 29803
Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 11739 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 1z 11352 . . . 4 1 ∈ ℤ
31, 2sselii 3585 . . 3 1 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 29801 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
83, 7mpan2 706 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9 gcd1 15168 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 10662 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2635 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 10976 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
15 qnumdenbi 15371 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1421 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
1713, 16mpbi 220 . . . . . . 7 ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
1817simpli 474 . . . . . 6 (numer‘1) = 1
1918fveq2i 6153 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
2017simpri 478 . . . . . 6 (denom‘1) = 1
2120fveq2i 6153 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
2219, 21oveq12i 6617 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23 drngring 18670 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2626 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
256, 24zrh1 19775 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
2625, 25oveq12d 6623 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
284, 24ringidcl 18484 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
304, 5, 24dvr1 18605 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3123, 29, 30syl2anc 692 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3227, 31eqtrd 2660 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r𝑅))
3322, 32syl5eq 2672 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
3433adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
358, 34eqtrd 2660 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   / cdiv 10629  cn 10965  cz 11322  cq 11732   gcd cgcd 15135  numercnumer 15360  denomcdenom 15361  Basecbs 15776  1rcur 18417  Ringcrg 18463  /rcdvr 18598  DivRingcdr 18663  ℤRHomczrh 19762  chrcchr 19764  ℚHomcqqh 29790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-numer 15362  df-denom 15363  df-gz 15553  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-od 17864  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-rnghom 18631  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-cnfld 19661  df-zring 19733  df-zrh 19766  df-chr 19768  df-qqh 29791
This theorem is referenced by:  qqhrhm  29807
  Copyright terms: Public domain W3C validator