Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh1 31125
Description: The image of 1 by the ℚHom homomorphism is the ring's unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))

Proof of Theorem qqh1
StepHypRef Expression
1 zssq 12343 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 1z 12000 . . . 4 1 ∈ ℤ
31, 2sselii 3961 . . 3 1 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 31123 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 1 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
83, 7mpan2 687 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))))
9 gcd1 15864 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = 1)
102, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 gcd 1) = 1
11 1div1e1 11318 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
1211eqcomi 2827 . . . . . . . . 9 1 = (1 / 1)
1310, 12pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1))
14 1nn 11637 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
15 qnumdenbi 16072 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)))
163, 2, 14, 15mp3an 1452 . . . . . . . 8 (((1 gcd 1) = 1 ∧ 1 = (1 / 1)) ↔ ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1))
1713, 16mpbi 231 . . . . . . 7 ((numer‘1) = 1 ∧ (denom‘1) = 1)
1817simpli 484 . . . . . 6 (numer‘1) = 1
1918fveq2i 6666 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘1)) = (𝐿‘1)
2017simpri 486 . . . . . 6 (denom‘1) = 1
2120fveq2i 6666 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘1)) = (𝐿‘1)
2219, 21oveq12i 7157 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = ((𝐿‘1) / (𝐿‘1))
23 drngring 19438 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2818 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
256, 24zrh1 20588 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
2625, 25oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
2723, 26syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = ((1r𝑅) / (1r𝑅)))
284, 24ringidcl 19247 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
294, 5, 24dvr1 19368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3023, 28, 29syl2anc2 585 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((1r𝑅) / (1r𝑅)) = (1r𝑅))
3127, 30eqtrd 2853 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘1) / (𝐿‘1)) = (1r𝑅))
3222, 31syl5eq 2865 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
3332adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘1)) / (𝐿‘(denom‘1))) = (1r𝑅))
348, 33eqtrd 2853 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘1) = (1r𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  cq 12336   gcd cgcd 15831  numercnumer 16061  denomcdenom 16062  Basecbs 16471  1rcur 19180  Ringcrg 19226  /rcdvr 19361  DivRingcdr 19431  ℤRHomczrh 20575  chrcchr 20577  ℚHomcqqh 31112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-numer 16063  df-denom 16064  df-gz 16254  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-od 18585  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-chr 20581  df-qqh 31113
This theorem is referenced by:  qqhrhm  31129
  Copyright terms: Public domain W3C validator