Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhre 31160
Description: The ℚHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
qqhre (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)

Proof of Theorem qqhre
StepHypRef Expression
1 resubdrg 20680 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21simpri 486 . . . . 5 fld ∈ DivRing
3 drngring 19438 . . . . . 6 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
4 f1oi 6645 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
5 f1of1 6607 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ
7 zssre 11976 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
8 f1ss 6573 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ)
96, 7, 8mp2an 688 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ
10 zrhre 31159 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)
11 f1eq1 6563 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ)
139, 12mpbir 232 . . . . . . 7 (ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ
14 rebase 20678 . . . . . . . 8 ℝ = (Base‘ℝfld)
15 eqid 2818 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
16 re0g 20684 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℝfld)
1714, 15, 16zrhchr 31116 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Ring → ((chr‘ℝfld) = 0 ↔ (ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ))
1813, 17mpbiri 259 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Ring → (chr‘ℝfld) = 0)
192, 3, 18mp2b 10 . . . . 5 (chr‘ℝfld) = 0
20 eqid 2818 . . . . . 6 (/r‘ℝfld) = (/r‘ℝfld)
2114, 20, 15qqhvval 31123 . . . . 5 (((ℝfld ∈ DivRing ∧ (chr‘ℝfld) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
222, 19, 21mpanl12 698 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
23 f1f 6568 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ → (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ)
2413, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ)
26 qnumcl 16068 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
2725, 26ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) ∈ ℝ)
28 qdencl 16069 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
2928nnzd 12074 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
3025, 29ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ∈ ℝ)
3129anim1i 614 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
3214, 15, 16zrhf1ker 31115 . . . . . . . . . . . 12 (ℝfld ∈ Ring → ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0}))
332, 3, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0})
3413, 33mpbi 231 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0}
3534eleq2i 2901 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ (denom‘𝑞) ∈ {0})
36 ffn 6507 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ → (ℤRHom‘ℝfld) Fn ℤ)
37 fniniseg 6822 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0)))
3824, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
39 fvex 6676 . . . . . . . . . 10 (denom‘𝑞) ∈ V
4039elsn 4572 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
4135, 38, 403bitr3ri 303 . . . . . . . 8 ((denom‘𝑞) = 0 ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
4231, 41sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → (denom‘𝑞) = 0)
4328nnne0d 11675 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ≠ 0)
4443adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
4544neneqd 3018 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
4642, 45pm2.65da 813 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ¬ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0)
4746neqned 3020 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ≠ 0)
48 redvr 20689 . . . . 5 ((((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) ∈ ℝ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ∈ ℝ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ≠ 0) → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
4927, 30, 47, 48syl3anc 1363 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
5010fveq1i 6664 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (( I ↾ ℤ)‘(numer‘𝑞))
51 fvresi 6927 . . . . . . . 8 ((numer‘𝑞) ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5250, 51syl5eq 2865 . . . . . . 7 ((numer‘𝑞) ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5326, 52syl 17 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5410fveq1i 6664 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (( I ↾ ℤ)‘(denom‘𝑞))
55 fvresi 6927 . . . . . . . 8 ((denom‘𝑞) ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
5654, 55syl5eq 2865 . . . . . . 7 ((denom‘𝑞) ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
5729, 56syl 17 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
5853, 57oveq12d 7163 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
59 qeqnumdivden 16074 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
6058, 59eqtr4d 2856 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = 𝑞)
6122, 49, 603eqtrd 2857 . . 3 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = 𝑞)
6261mpteq2ia 5148 . 2 (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞)) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ 𝑞)
6314, 20, 15qqhf 31126 . . . . . 6 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ (chr‘ℝfld) = 0) → (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ)
642, 19, 63mp2an 688 . . . . 5 (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ
6564a1i 11 . . . 4 (⊤ → (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ)
6665feqmptd 6726 . . 3 (⊤ → (ℚHom‘ℝfld) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞)))
6766mptru 1535 . 2 (ℚHom‘ℝfld) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞))
68 mptresid 5911 . 2 ( I ↾ ℚ) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ 𝑞)
6962, 67, 683eqtr4i 2851 1 (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  {csn 4557  cmpt 5137   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   / cdiv 11285  cz 11969  cq 12336  numercnumer 16061  denomcdenom 16062  Ringcrg 19226  /rcdvr 19361  DivRingcdr 19431  SubRingcsubrg 19460  fldccnfld 20473  ℤRHomczrh 20575  chrcchr 20577  fldcrefld 20676  ℚHomcqqh 31112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-numer 16063  df-denom 16064  df-gz 16254  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-od 18585  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-chr 20581  df-refld 20677  df-qqh 31113
This theorem is referenced by:  rrhre  31161
  Copyright terms: Public domain W3C validator