Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhucn 30010
Description: The ℚHom homomorphism is uniformly continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhucn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhucn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhucn.u 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
qqhucn.v 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
qqhucn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhucn.1 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
qqhucn.2 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
qqhucn.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
qqhucn.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
Assertion
Ref Expression
qqhucn (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))

Proof of Theorem qqhucn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhucn.2 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2 qqhucn.4 . . . 4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
3 qqhucn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2620 . . . . 5 (/r𝑅) = (/r𝑅)
5 eqid 2620 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhf 30004 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
71, 2, 6syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
9 qqhucn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
10 nrgngp 22447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
1211ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
137ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵)
157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
1615ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵)
17 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
18 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
19 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
2017, 3, 18, 19ngpdsr 22390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑝) ∈ 𝐵 ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ 𝐵) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
2112, 14, 16, 20syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))))
22 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
23 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℚ)
24 qsubdrg 19779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
2524simpli 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26 subrgsubg 18767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
28 cnfldsub 19755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − = (-g‘ℂfld)
29 qqhucn.q . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑄 = (ℂflds ℚ)
30 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝑄) = (-g𝑄)
3128, 29, 30subgsub 17587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3227, 31mp3an1 1409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3322, 23, 32syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) = (𝑞(-g𝑄)𝑝))
3433fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)))
353, 4, 5, 29qqhghm 30006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
361, 2, 35syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3736ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
3829qrngbas 25289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ = (Base‘𝑄)
3938, 30, 18ghmsub 17649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4037, 22, 23, 39syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞(-g𝑄)𝑝)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)))
4134, 40eqtr2d 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)) = ((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝)))
4241fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑝))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))))
439, 1elind 3790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
4443ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing))
45 qqhucn.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
4645ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑍 ∈ NrmMod)
472ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
48 qsubcl 11792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
4922, 23, 48syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞𝑝) ∈ ℚ)
50 qqhucn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5117, 50qqhnm 30008 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑞𝑝) ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5244, 46, 47, 49, 51syl31anc 1327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘(𝑞𝑝))) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5321, 42, 523eqtrd 2658 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘(𝑞𝑝)))
5414, 16ovresd 6786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
55 qsscn 11784 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
5655, 23sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℂ)
5755, 22sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
58 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5958cnmetdval 22555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6056, 57, 59syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6123, 22ovresd 6786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (𝑝(abs ∘ − )𝑞))
6257, 56abssubd 14173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (abs‘(𝑞𝑝)) = (abs‘(𝑝𝑞)))
6360, 61, 623eqtr4d 2664 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (abs‘(𝑞𝑝)))
6453, 54, 633eqtr4rd 2665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6564breq1d 4654 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6665biimpd 219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6766ralrimiva 2963 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 2963 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6968adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
70 breq2 4648 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
7170imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → (((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
72712ralbidv 2986 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒) ↔ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)))
7372rspcev 3304 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
748, 69, 73syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
7574ralrimiva 2963 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
76 eqid 2620 . . . 4 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
77 qqhucn.v . . . 4 𝑉 = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
78 0z 11373 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
79 zq 11779 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
80 ne0i 3913 . . . . . 6 (0 ∈ ℚ → ℚ ≠ ∅)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 ℚ ≠ ∅
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℚ ≠ ∅)
83 drngring 18735 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
84 eqid 2620 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
853, 84ringidcl 18549 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
86 ne0i 3913 . . . . 5 ((1r𝑅) ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
871, 83, 85, 864syl 19 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
88 cnfldxms 22561 . . . . . . . 8 fld ∈ ∞MetSp
89 qex 11785 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
90 ressxms 22311 . . . . . . . 8 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
9188, 89, 90mp2an 707 . . . . . . 7 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
9229, 91eqeltri 2695 . . . . . 6 𝑄 ∈ ∞MetSp
93 cnfldds 19737 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
9429, 93ressds 16054 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
9638, 95xmsxmet2 22245 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
9792, 96mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
98 xmetpsmet 22134 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
9997, 98syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (PsMet‘ℚ))
100 ngpxms 22386 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
1013, 19xmsxmet2 22245 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
1029, 10, 100, 1014syl 19 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
103 xmetpsmet 22134 . . . . 5 (((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵) → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (PsMet‘𝐵))
10576, 77, 82, 87, 99, 104metucn 22357 . . 3 (𝜑 → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℚ ∀𝑞 ∈ ℚ ((𝑝((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑝)((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
1067, 75, 105mpbir2and 956 . 2 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
107 qqhucn.u . . . . . 6 𝑈 = (UnifSt‘𝑄)
10829fveq2i 6181 . . . . . 6 (UnifSt‘𝑄) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
109 ressuss 22048 . . . . . . 7 (ℚ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)))
11089, 109ax-mp 5 . . . . . 6 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
111107, 108, 1103eqtri 2646 . . . . 5 𝑈 = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ))
112 eqid 2620 . . . . . . 7 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
113112cnflduss 23133 . . . . . 6 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
114113oveq1i 6645 . . . . 5 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℚ × ℚ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ))
115 cnxmet 22557 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
116 xmetpsmet 22134 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
118 restmetu 22356 . . . . . 6 ((ℚ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℚ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
11981, 117, 55, 118mp3an 1422 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℚ × ℚ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
120111, 114, 1193eqtri 2646 . . . 4 𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
121120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
122121oveq1d 6650 . 2 (𝜑 → (𝑈 Cnu𝑉) = ((metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))) Cnu𝑉))
123106, 122eleqtrrd 2702 1 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑈 Cnu𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644   × cxp 5102  cres 5106  ccom 5108  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921   < clt 10059  cmin 10251  cz 11362  cq 11773  +crp 11817  abscabs 13955  Basecbs 15838  s cress 15839  distcds 15931  t crest 16062  -gcsg 17405  SubGrpcsubg 17569   GrpHom cghm 17638  1rcur 18482  Ringcrg 18528  /rcdvr 18663  DivRingcdr 18728  SubRingcsubrg 18757  PsMetcpsmet 19711  ∞Metcxmt 19712  metUnifcmetu 19718  fldccnfld 19727  ℤRHomczrh 19829  ℤModczlm 19830  chrcchr 19831  UnifStcuss 22038   Cnucucn 22060  ∞MetSpcxme 22103  normcnm 22362  NrmGrpcngp 22363  NrmRingcnrg 22365  NrmModcnlm 22366  ℚHomcqqh 29990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-numer 15424  df-denom 15425  df-gz 15615  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-topgen 16085  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-od 17929  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-abv 18798  df-lmod 18846  df-nzr 19239  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-metu 19726  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-zrh 19833  df-zlm 19834  df-chr 19835  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-fil 21631  df-ust 21985  df-uss 22041  df-ucn 22061  df-xms 22106  df-ms 22107  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-nrg 22371  df-nlm 22372  df-qqh 29991
This theorem is referenced by:  rrhcn  30015
  Copyright terms: Public domain W3C validator