MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qshash 15170
Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1 (𝜑 Er 𝐴)
qshash.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
qshash (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4 (𝜑 Er 𝐴)
2 qshash.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 erex 8302 . . . . 5 ( Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∈ V))
41, 2, 3sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
51, 4uniqs2 8348 . . 3 (𝜑 (𝐴 / ) = 𝐴)
65fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = (♯‘𝐴))
7 pwfi 8807 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
82, 7sylib 219 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
91qsss 8347 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ 𝒫 𝐴)
108, 9ssfid 8729 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ∈ Fin)
11 elpwi 4547 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
12 ssfi 8726 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
1312ex 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
142, 11, 13syl2im 40 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
1514ssrdv 3970 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
169, 15sstrd 3974 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ Fin)
17 qsdisj2 8364 . . . 4 ( Er 𝐴Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
1910, 16, 18hashuni 15169 . 2 (𝜑 → (♯‘ (𝐴 / )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
206, 19eqtr3d 2855 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  Disj wdisj 5022  cfv 6348   Er wer 8275   / cqs 8277  Fincfn 8497  chash 13678  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  lagsubg2  18279  sylow1lem3  18654  sylow2a  18673  hashclwwlkn0  27780
  Copyright terms: Public domain W3C validator