Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qshash 14484
 Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1 (𝜑 Er 𝐴)
qshash.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
qshash (𝜑 → (#‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(#‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4 (𝜑 Er 𝐴)
2 qshash.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 erex 7711 . . . . 5 ( Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∈ V))
41, 2, 3sylc 65 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
51, 4uniqs2 7754 . . 3 (𝜑 (𝐴 / ) = 𝐴)
65fveq2d 6152 . 2 (𝜑 → (#‘ (𝐴 / )) = (#‘𝐴))
7 pwfi 8205 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
82, 7sylib 208 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
91qsss 7753 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ 𝒫 𝐴)
10 ssfi 8124 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 / ) ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐴 / ) ∈ Fin)
118, 9, 10syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ∈ Fin)
12 elpwi 4140 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
13 ssfi 8124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
1413ex 450 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
152, 12, 14syl2im 40 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin))
1615ssrdv 3589 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
179, 16sstrd 3593 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / ) ⊆ Fin)
18 qsdisj2 7770 . . . 4 ( Er 𝐴Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
191, 18syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / )𝑥)
2011, 17, 19hashuni 14483 . 2 (𝜑 → (#‘ (𝐴 / )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(#‘𝑥))
216, 20eqtr3d 2657 1 (𝜑 → (#‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / )(#‘𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402  Disj wdisj 4583  ‘cfv 5847   Er wer 7684   / cqs 7686  Fincfn 7899  #chash 13057  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  lagsubg2  17576  sylow1lem3  17936  sylow2a  17955  hashclwwlksn0  26817
 Copyright terms: Public domain W3C validator