MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptopon 21555
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 20767 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2 foeq2 6150 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐽 → (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹: 𝐽onto𝑌))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹: 𝐽onto𝑌))
43biimpa 500 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹: 𝐽onto𝑌)
5 fofn 6155 . . . 4 (𝐹: 𝐽onto𝑌𝐹 Fn 𝐽)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹 Fn 𝐽)
7 topontop 20766 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
8 eqid 2651 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98qtoptop 21551 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
107, 9sylan 487 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 Fn 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
116, 10syldan 486 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
128qtopuni 21553 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹: 𝐽onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
137, 12sylan 487 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹: 𝐽onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
144, 13syldan 486 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
15 istopon 20765 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹)))
1611, 14, 15sylanbrc 699 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   cuni 4468   Fn wfn 5921  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690   qTop cqtop 16210  Topctop 20746  TopOnctopon 20763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-qtop 16214  df-top 20747  df-topon 20764
This theorem is referenced by:  qtopid  21556  qtopcld  21564  qtopcn  21565  qtopeu  21567  qtoprest  21568  imastps  21572  kqtopon  21578  qtopf1  21667  qtophmeo  21668  qustgplem  21971  qtophaus  30031
  Copyright terms: Public domain W3C validator