Theorem qtopuni 22309

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtoptop.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3989	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑌)
2		fof 6589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		fimacnv 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) = 𝑋)
6		qtoptop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 21513	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	7	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	5, 8	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)
10	6	elqtop2 22308	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑌) ∈ 𝐽)))
11	1, 9, 10	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
12		elssuni 4867	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
14	6	elqtop2 22308	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
15		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
16		velpw 4543	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑌)
17	15, 16	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑌 ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
18	14, 17	syl6bi 255	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
19	18	ssrdv 3972	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
20		sspwuni 5021	. . 3 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 ↔ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
21	19, 20	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → ∪ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
22	13, 21	eqssd 3983	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4837  ^◡ccnv 5553   “ cima 5557  ⟶wf 6350  –onto→wfo 6352  (class class class)co 7155   qTop cqtop 16775  Topctop 21500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-qtop 16779  df-top 21501

This theorem is referenced by:  qtoptopon  22311  qtopcmplem  22314  qtopkgen  22317  qtopt1  31099  qtophaus  31100  circtopn  31101