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Theorem quad3 31272
Description: Variant of quadratic equation with discriminant expanded. (Contributed by Filip Cernatescu, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
quad3.1 𝑋 ∈ ℂ
quad3.2 𝐴 ∈ ℂ
quad3.3 𝐴 ≠ 0
quad3.4 𝐵 ∈ ℂ
quad3.5 𝐶 ∈ ℂ
quad3.6 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0
Assertion
Ref Expression
quad3 (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))

Proof of Theorem quad3
StepHypRef Expression
1 2cn 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2 quad3.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
31, 2mulcli 9989 . . . . 5 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
4 quad3.1 . . . . . 6 𝑋 ∈ ℂ
5 quad3.4 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℂ
6 2ne0 11057 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
7 quad3.3 . . . . . . . 8 𝐴 ≠ 0
81, 2, 6, 7mulne0i 10614 . . . . . . 7 (2 · 𝐴) ≠ 0
95, 3, 8divcli 10711 . . . . . 6 (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
104, 9addcli 9988 . . . . 5 (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ∈ ℂ
113, 10sqmuli 12887 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2))
124, 9binom2i 12914 . . . . . . 7 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
134sqcli 12884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋↑2) ∈ ℂ
142, 13mulcli 9989 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ
155, 4mulcli 9989 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ
1614, 15, 2, 7divdiri 10726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴))
1713, 2, 7divcan3i 10715 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = (𝑋↑2)
185, 4, 2, 7div23i 10727 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)
1917, 18oveq12i 6616 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · (𝑋↑2)) / 𝐴) + ((𝐵 · 𝑋) / 𝐴)) = ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋))
2016, 19eqtr2i 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴)
215, 2, 7divcli 10711 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ
2221, 4mulcomi 9990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
234, 21mulcli 9989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ
2423, 1, 6divcan2i 10712 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / 𝐴))
254, 21, 1, 6divassi 10725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2))
262, 7pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)
271, 6pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
28 divdiv1 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2)))
295, 26, 27, 28mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (𝐴 · 2))
302, 1mulcomi 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
3130oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 / (𝐴 · 2)) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
3229, 31eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 / 𝐴) / 2) = (𝐵 / (2 · 𝐴))
3332oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((𝐵 / 𝐴) / 2)) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
3425, 33eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2) = (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))
3534oveq2i 6615 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 · (𝐵 / 𝐴)) / 2)) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
3622, 24, 353eqtr2i 2649 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋) = (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
3736oveq2i 6615 . . . . . . . . 9 ((𝑋↑2) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝑋)) = ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴)))))
38 quad3.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 ∈ ℂ
3914, 15, 38addassi 9992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶))
4039eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶)
4140oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶)
4214, 15addcli 9988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) ∈ ℂ
4342, 38pncan3oi 10241 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) + 𝐶) − 𝐶) = ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋))
4441, 43eqtr2i 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶)
45 quad3.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0
4645oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = (0 − 𝐶)
47 df-neg 10213 . . . . . . . . . . . 12 -𝐶 = (0 − 𝐶)
4846, 47eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) − 𝐶) = -𝐶
4944, 48eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) = -𝐶
5049oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · 𝑋)) / 𝐴) = (-𝐶 / 𝐴)
5120, 37, 503eqtr3i 2651 . . . . . . . 8 ((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) = (-𝐶 / 𝐴)
5251oveq1i 6614 . . . . . . 7 (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
5312, 52eqtri 2643 . . . . . 6 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
5438negcli 10293 . . . . . . . 8 -𝐶 ∈ ℂ
5554, 2, 7divcli 10711 . . . . . . 7 (-𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ
569sqcli 12884 . . . . . . 7 ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) ∈ ℂ
5755, 56addcomi 10171 . . . . . 6 ((-𝐶 / 𝐴) + ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴))
585, 3, 8sqdivi 12888 . . . . . . . 8 ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2))
59 4cn 11042 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
6059, 2mulcli 9989 . . . . . . . . . 10 (4 · 𝐴) ∈ ℂ
61 4ne0 11061 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
6259, 2, 61, 7mulne0i 10614 . . . . . . . . . 10 (4 · 𝐴) ≠ 0
6360, 60, 54, 2, 62, 7divmuldivi 10729 . . . . . . . . 9 (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴))
6460, 62dividi 10702 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) = 1
6564eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 1 = ((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴))
6665oveq1i 6614 . . . . . . . . . 10 (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴))
6755mulid2i 9987 . . . . . . . . . 10 (1 · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
6866, 67eqtr3i 2645 . . . . . . . . 9 (((4 · 𝐴) / (4 · 𝐴)) · (-𝐶 / 𝐴)) = (-𝐶 / 𝐴)
6938mulm1i 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · 𝐶) = -𝐶
7069eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝐶 = (-1 · 𝐶)
7170oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
72 neg1cn 11068 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
7360, 72, 38mulassi 9993 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((4 · 𝐴) · (-1 · 𝐶))
7471, 73eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶)
7560, 72mulcomi 9990 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 𝐴) · -1) = (-1 · (4 · 𝐴))
7675oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 (((4 · 𝐴) · -1) · 𝐶) = ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶)
7772, 60, 38mulassi 9993 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · (4 · 𝐴)) · 𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
7874, 76, 773eqtri 2647 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶))
7959, 2, 38mulassi 9993 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) · 𝐶) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
8079oveq2i 6615 . . . . . . . . . . 11 (-1 · ((4 · 𝐴) · 𝐶)) = (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶)))
812, 38mulcli 9989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
8259, 81mulcli 9989 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
8382mulm1i 10419 . . . . . . . . . . 11 (-1 · (4 · (𝐴 · 𝐶))) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
8478, 80, 833eqtri 2647 . . . . . . . . . 10 ((4 · 𝐴) · -𝐶) = -(4 · (𝐴 · 𝐶))
85 2t2e4 11121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
8685eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 = (2 · 2)
8786oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 𝐴) = ((2 · 2) · 𝐴)
8887oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴)
891, 1, 2mulassi 9993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
9089oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 2) · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
9188, 90eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴)
921, 3mulcomi 9990 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · 2)
9392oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (2 · 𝐴)) · 𝐴) = (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴)
943, 1, 2mulassi 9993 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
9591, 93, 943eqtri 2647 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
963sqvali 12883 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴))
9795, 96eqtr4i 2646 . . . . . . . . . 10 ((4 · 𝐴) · 𝐴) = ((2 · 𝐴)↑2)
9884, 97oveq12i 6616 . . . . . . . . 9 (((4 · 𝐴) · -𝐶) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
9963, 68, 983eqtr3i 2651 . . . . . . . 8 (-𝐶 / 𝐴) = (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2))
10058, 99oveq12i 6616 . . . . . . 7 (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
1015sqcli 12884 . . . . . . . 8 (𝐵↑2) ∈ ℂ
10282negcli 10293 . . . . . . . 8 -(4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
1033sqcli 12884 . . . . . . . 8 ((2 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ
1043, 3, 8, 8mulne0i 10614 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)) ≠ 0
10596, 104eqnetri 2860 . . . . . . . 8 ((2 · 𝐴)↑2) ≠ 0
106101, 102, 103, 105divdiri 10726 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) + (-(4 · (𝐴 · 𝐶)) / ((2 · 𝐴)↑2)))
107101, 82negsubi 10303 . . . . . . . 8 ((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
108107oveq1i 6614 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) + -(4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
109100, 106, 1083eqtr2i 2649 . . . . . 6 (((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) + (-𝐶 / 𝐴)) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
11053, 57, 1093eqtri 2647 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2) = (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))
111110oveq2i 6615 . . . 4 (((2 · 𝐴)↑2) · ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))↑2)) = (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2)))
112101, 82subcli 10301 . . . . 5 ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
113112, 103, 105divcan2i 10712 . . . 4 (((2 · 𝐴)↑2) · (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / ((2 · 𝐴)↑2))) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
11411, 111, 1133eqtri 2647 . . 3 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))
1153, 10mulcli 9989 . . . . 5 ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ
116115, 112pm3.2i 471 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
117 eqsqrtor 14040 . . . 4 ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ) → ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))))
118116, 117ax-mp 5 . . 3 ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))))↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))))
119114, 118mpbi 220 . 2 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
120 sqrtcl 14035 . . . . . . 7 (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ → (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
121112, 120ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
122121, 3, 10, 8divmuli 10723 . . . . 5 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
123 eqcom 2628 . . . . 5 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
124122, 123bitr3i 266 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
125121, 3, 8divcli 10711 . . . . . 6 ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
126125, 9, 4subadd2i 10313 . . . . 5 ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
127 eqcom 2628 . . . . 5 ((((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
128126, 127bitr3i 266 . . . 4 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
129 divneg 10663 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
1305, 3, 8, 129mp3an 1421 . . . . . . . 8 -(𝐵 / (2 · 𝐴)) = (-𝐵 / (2 · 𝐴))
131130oveq2i 6615 . . . . . . 7 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
132125, 9negsubi 10303 . . . . . . 7 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
1335negcli 10293 . . . . . . . . 9 -𝐵 ∈ ℂ
134133, 3, 8divcli 10711 . . . . . . . 8 (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
135125, 134addcomi 10171 . . . . . . 7 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
136131, 132, 1353eqtr3i 2651 . . . . . 6 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
137133, 121, 3, 8divdiri 10726 . . . . . 6 ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
138136, 137eqtr4i 2646 . . . . 5 (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
139138eqeq2i 2633 . . . 4 (𝑋 = (((√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
140124, 128, 1393bitri 286 . . 3 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
141121negcli 10293 . . . . . 6 -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
142141, 3, 10, 8divmuli 10723 . . . . 5 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
143 eqcom 2628 . . . . 5 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) = (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
144142, 143bitr3i 266 . . . 4 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
145141, 3, 8divcli 10711 . . . . . 6 (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ
146145, 9, 4subadd2i 10313 . . . . 5 (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
147 eqcom 2628 . . . . 5 (((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = 𝑋𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
148146, 147bitr3i 266 . . . 4 ((𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴))) = (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))))
149130oveq2i 6615 . . . . . . 7 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴)))
150145, 9negsubi 10303 . . . . . . 7 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴)))
151145, 134addcomi 10171 . . . . . . 7 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) + (-𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
152149, 150, 1513eqtr3i 2651 . . . . . 6 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
153133, 141, 3, 8divdiri 10726 . . . . . 6 ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)))
154133, 121negsubi 10303 . . . . . . 7 (-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) = (-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))))
155154oveq1i 6614 . . . . . 6 ((-𝐵 + -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
156152, 153, 1553eqtr2i 2649 . . . . 5 ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))
157156eqeq2i 2633 . . . 4 (𝑋 = ((-(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) / (2 · 𝐴)) − (𝐵 / (2 · 𝐴))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
158144, 148, 1573bitri 286 . . 3 (((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ↔ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
159140, 158orbi12i 543 . 2 ((((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) ∨ ((2 · 𝐴) · (𝑋 + (𝐵 / (2 · 𝐴)))) = -(√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴))))
160119, 159mpbi 220 1 (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))) / (2 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  4c4 11016  cexp 12800  csqrt 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910
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