MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1 24483
Description: Depress a quartic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart1.y (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
Assertion
Ref Expression
quart1 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) = (((𝑌↑4) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)))

Proof of Theorem quart1
StepHypRef Expression
1 quart1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
21oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌↑4) = ((𝑋 + (𝐴 / 4))↑4))
3 quart1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 quart1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 4cn 11042 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
7 4ne0 11061 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ≠ 0)
94, 6, 8divcld 10745 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
10 binom4 24477 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 4) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝐴 / 4))↑4) = (((𝑋↑4) + (4 · ((𝑋↑3) · (𝐴 / 4)))) + ((6 · ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) + ((𝐴 / 4)↑4)))))
113, 9, 10syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐴 / 4))↑4) = (((𝑋↑4) + (4 · ((𝑋↑3) · (𝐴 / 4)))) + ((6 · ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) + ((𝐴 / 4)↑4)))))
12 3nn0 11254 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
13 expcl 12818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
143, 12, 13sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
156, 14, 9mul12d 10189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑋↑3) · (𝐴 / 4))) = ((𝑋↑3) · (4 · (𝐴 / 4))))
164, 6, 8divcan2d 10747 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐴 / 4)) = 𝐴)
1716oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋↑3) · (4 · (𝐴 / 4))) = ((𝑋↑3) · 𝐴))
1814, 4mulcomd 10005 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋↑3) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑋↑3)))
1915, 17, 183eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · ((𝑋↑3) · (𝐴 / 4))) = (𝐴 · (𝑋↑3)))
2019oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋↑4) + (4 · ((𝑋↑3) · (𝐴 / 4)))) = ((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))))
21 6nn 11133 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
2221nncni 10974 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 6 ∈ ℂ)
249sqcld 12946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) ∈ ℂ)
253sqcld 12946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
2623, 24, 25mulassd 10007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((6 · ((𝐴 / 4)↑2)) · (𝑋↑2)) = (6 · (((𝐴 / 4)↑2) · (𝑋↑2))))
27 3cn 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
28 2cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
29 3t2e6 11123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 · 2) = 6
3027, 28, 29mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 3) = 6
31 8cn 11050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
32 8t2e16 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 · 2) = 16
3331, 28, 32mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 8) = 16
3430, 33oveq12i 6616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 3) / (2 · 8)) = (6 / 16)
35 8nn 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℕ
3635nnne0i 10999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ≠ 0
3731, 36pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0)
38 2cnne0 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
39 divcan5 10671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 3) / (2 · 8)) = (3 / 8))
4027, 37, 38, 39mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 3) / (2 · 8)) = (3 / 8)
4134, 40eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (6 / 16) = (3 / 8)
4241oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) · (6 / 16)) = ((𝐴↑2) · (3 / 8))
434sqcld 12946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
44 1nn0 11252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
4544, 21decnncl 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 ∈ ℕ
4645nncni 10974 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑16 ∈ ℂ)
4845nnne0i 10999 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ≠ 0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑16 ≠ 0)
5043, 23, 47, 49div12d 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (6 / 16)) = (6 · ((𝐴↑2) / 16)))
5142, 50syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (3 / 8)) = (6 · ((𝐴↑2) / 16)))
5227, 31, 36divcli 10711 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 8) ∈ ℂ
53 mulcom 9966 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · (3 / 8)))
5452, 43, 53sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · (3 / 8)))
554, 6, 8sqdivd 12961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / (4↑2)))
565sqvali 12883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4↑2) = (4 · 4)
57 4t4e16 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 · 4) = 16
5856, 57eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (4↑2) = 16
5958oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴↑2) / (4↑2)) = ((𝐴↑2) / 16)
6055, 59syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑2) = ((𝐴↑2) / 16))
6160oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (6 · ((𝐴 / 4)↑2)) = (6 · ((𝐴↑2) / 16)))
6251, 54, 613eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) = (6 · ((𝐴 / 4)↑2)))
6362oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) = ((6 · ((𝐴 / 4)↑2)) · (𝑋↑2)))
6425, 24mulcomd 10005 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2)) = (((𝐴 / 4)↑2) · (𝑋↑2)))
6564oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (6 · ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2))) = (6 · (((𝐴 / 4)↑2) · (𝑋↑2))))
6626, 63, 653eqtr4rd 2666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (6 · ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2))) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)))
67 expcl 12818 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 / 4) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 / 4)↑3) ∈ ℂ)
689, 12, 67sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑3) ∈ ℂ)
696, 3, 68mul12d 10189 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) = (𝑋 · (4 · ((𝐴 / 4)↑3))))
706, 68mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 · ((𝐴 / 4)↑3)) ∈ ℂ)
713, 70mulcomd 10005 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · (4 · ((𝐴 / 4)↑3))) = ((4 · ((𝐴 / 4)↑3)) · 𝑋))
72 df-3 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
7372oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4↑3) = (4↑(2 + 1))
74 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
75 expp1 12807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (4↑(2 + 1)) = ((4↑2) · 4))
765, 74, 75mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4↑(2 + 1)) = ((4↑2) · 4)
7758oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4↑2) · 4) = (16 · 4)
7873, 76, 773eqtri 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4↑3) = (16 · 4)
7978oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴↑3) / (4↑3)) = ((𝐴↑3) / (16 · 4))
8012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
814, 6, 8, 80expdivd 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑3) = ((𝐴↑3) / (4↑3)))
82 expcl 12818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
834, 12, 82sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
8483, 47, 6, 49, 8divdiv1d 10776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴↑3) / 16) / 4) = ((𝐴↑3) / (16 · 4)))
8579, 81, 843eqtr4a 2681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑3) = (((𝐴↑3) / 16) / 4))
8685oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · ((𝐴 / 4)↑3)) = (4 · (((𝐴↑3) / 16) / 4)))
8732oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴↑3) / (8 · 2)) = ((𝐴↑3) / 16)
8831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
8928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 8 ≠ 0)
91 2ne0 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9383, 88, 89, 90, 92divdiv1d 10776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑3) / 8) / 2) = ((𝐴↑3) / (8 · 2)))
9483, 47, 49divcld 10745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 16) ∈ ℂ)
9594, 6, 8divcan2d 10747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (4 · (((𝐴↑3) / 16) / 4)) = ((𝐴↑3) / 16))
9687, 93, 953eqtr4a 2681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑3) / 8) / 2) = (4 · (((𝐴↑3) / 16) / 4)))
9786, 96eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 · ((𝐴 / 4)↑3)) = (((𝐴↑3) / 8) / 2))
9897oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · ((𝐴 / 4)↑3)) · 𝑋) = ((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋))
9969, 71, 983eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) = ((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋))
100 4nn0 11255 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
101100a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
1024, 6, 8, 101expdivd 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑4) = ((𝐴↑4) / (4↑4)))
103 expmul 12845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑(2 · 4)) = ((2↑2)↑4))
10428, 74, 100, 103mp3an 1421 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑(2 · 4)) = ((2↑2)↑4)
105 4t2e8 11125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · 2) = 8
1065, 28, 105mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 4) = 8
107106oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑(2 · 4)) = (2↑8)
108104, 107eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑2)↑4) = (2↑8)
109 sq2 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑2) = 4
110109oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑2)↑4) = (4↑4)
111108, 110eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . 12 (2↑8) = (4↑4)
112 2exp8 15720 . . . . . . . . . . . 12 (2↑8) = 256
113111, 112eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . 11 (4↑4) = 256
114113oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑4) / (4↑4)) = ((𝐴↑4) / 256)
115102, 114syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 / 4)↑4) = ((𝐴↑4) / 256))
11699, 115oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) + ((𝐴 / 4)↑4)) = (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)))
11766, 116oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝜑 → ((6 · ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) + ((𝐴 / 4)↑4))) = ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))))
11820, 117oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (4 · ((𝑋↑3) · (𝐴 / 4)))) + ((6 · ((𝑋↑2) · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((4 · (𝑋 · ((𝐴 / 4)↑3))) + ((𝐴 / 4)↑4)))) = (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)))))
1192, 11, 1183eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌↑4) = (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)))))
120119oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌↑4) + (𝑃 · (𝑌↑2))) = ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)))) + (𝑃 · (𝑌↑2))))
121 expcl 12818 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
1223, 100, 121sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
1234, 14mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
124122, 123addcld 10003 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) ∈ ℂ)
125 mulcl 9964 . . . . . . . 8 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12652, 43, 125sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
127126, 25mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
12883, 88, 90divcld 10745 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
129128halfcld 11221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑3) / 8) / 2) ∈ ℂ)
130129, 3mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
131 expcl 12818 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
1324, 100, 131sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
133 5nn0 11256 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ0
13474, 133deccl 11456 . . . . . . . . . . 11 25 ∈ ℕ0
135134, 21decnncl 11462 . . . . . . . . . 10 256 ∈ ℕ
136135nncni 10974 . . . . . . . . 9 256 ∈ ℂ
137136a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑256 ∈ ℂ)
138135nnne0i 10999 . . . . . . . . 9 256 ≠ 0
139138a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑256 ≠ 0)
140132, 137, 139divcld 10745 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑4) / 256) ∈ ℂ)
141130, 140addcld 10003 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) ∈ ℂ)
142127, 141addcld 10003 . . . . 5 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) ∈ ℂ)
143 quart1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
144 quart1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
145 quart1.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
146 quart1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
147 quart1.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
148 quart1.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
1494, 143, 144, 145, 146, 147, 148quart1cl 24481 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
150149simp1d 1071 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1513, 9addcld 10003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐴 / 4)) ∈ ℂ)
1521, 151eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
153152sqcld 12946 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
154150, 153mulcld 10004 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
155124, 142, 154addassd 10006 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) = (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2)))))
156120, 155eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → ((𝑌↑4) + (𝑃 · (𝑌↑2))) = (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2)))))
157156oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → (((𝑌↑4) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2)))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)))
158142, 154addcld 10003 . . 3 (𝜑 → (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
159149simp2d 1072 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
160159, 152mulcld 10004 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 · 𝑌) ∈ ℂ)
161149simp3d 1073 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
162160, 161addcld 10003 . . 3 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅) ∈ ℂ)
163124, 158, 162addassd 10006 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2)))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅))))
1641oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌↑2) = ((𝑋 + (𝐴 / 4))↑2))
165 binom2 12919 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 4) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝐴 / 4))↑2) = (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) + ((𝐴 / 4)↑2)))
1663, 9, 165syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐴 / 4))↑2) = (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) + ((𝐴 / 4)↑2)))
1673, 9mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 · (𝐴 / 4)) ∈ ℂ)
168 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑋 · (𝐴 / 4)) ∈ ℂ) → (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) ∈ ℂ)
16928, 167, 168sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) ∈ ℂ)
17025, 169, 24addassd 10006 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) + ((𝐴 / 4)↑2)) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))
171164, 166, 1703eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌↑2) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))
172171oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · (𝑌↑2)) = (𝑃 · ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))))
173169, 24addcld 10003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
174150, 25, 173adddid 10008 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) = ((𝑃 · (𝑋↑2)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))))
175172, 174eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (𝑌↑2)) = ((𝑃 · (𝑋↑2)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))))
176175oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) = (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + ((𝑃 · (𝑋↑2)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))))
177150, 25mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
178150, 173mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
179127, 141, 177, 178add4d 10208 . . . . . 6 (𝜑 → (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + ((𝑃 · (𝑋↑2)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))) = (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (𝑃 · (𝑋↑2))) + ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))))
180126, 150, 25adddird 10009 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) + 𝑃) · (𝑋↑2)) = ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (𝑃 · (𝑋↑2))))
181146oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) + 𝑃) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) + (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2)))))
182126, 143pncan3d 10339 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) + (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2)))) = 𝐵)
183181, 182eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) + 𝑃) = 𝐵)
184183oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) + 𝑃) · (𝑋↑2)) = (𝐵 · (𝑋↑2)))
185180, 184eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (𝑃 · (𝑋↑2))) = (𝐵 · (𝑋↑2)))
186185oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (𝑃 · (𝑋↑2))) + ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))) = ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))))
187176, 179, 1863eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → (((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) = ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))))
188187oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → ((((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = (((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)))
189143, 25mulcld 10004 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
190141, 178addcld 10003 . . . . 5 (𝜑 → ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) ∈ ℂ)
191189, 190, 162addassd 10006 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = ((𝐵 · (𝑋↑2)) + (((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅))))
1924, 143mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
193192halfcld 11221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
194193, 128subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
195194, 3mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) ∈ ℂ)
196150, 24mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)) ∈ ℂ)
197140, 196addcld 10003 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) ∈ ℂ)
198159, 3mulcld 10004 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) ∈ ℂ)
199159, 9mulcld 10004 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 · (𝐴 / 4)) ∈ ℂ)
200199, 161addcld 10003 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅) ∈ ℂ)
201195, 197, 198, 200add4d 10208 . . . . . 6 (𝜑 → ((((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) + ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅))) = ((((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (𝑄 · 𝑋)) + ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅))))
202150, 169, 24adddid 10008 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2))) = ((𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))))
203202oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) = ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + ((𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
204150, 169mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) ∈ ℂ)
205130, 140, 204, 196add4d 10208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + ((𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))))) + (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
2064, 89, 89, 92, 92divdiv1d 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 / 2) / 2) = (𝐴 / (2 · 2)))
207 2t2e4 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
208207oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 / (2 · 2)) = (𝐴 / 4)
209206, 208syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 / 2) / 2) = (𝐴 / 4))
210209oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · ((𝐴 / 2) / 2)) = (2 · (𝐴 / 4)))
2114halfcld 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
212211, 89, 92divcan2d 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · ((𝐴 / 2) / 2)) = (𝐴 / 2))
213210, 212eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝐴 / 4)) = (𝐴 / 2))
214213oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 · (2 · (𝐴 / 4))) = (𝑋 · (𝐴 / 2)))
2153, 211mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) · 𝑋))
216214, 215eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 · (2 · (𝐴 / 4))) = ((𝐴 / 2) · 𝑋))
217216oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · (𝑋 · (2 · (𝐴 / 4)))) = (𝑃 · ((𝐴 / 2) · 𝑋)))
21889, 3, 9mul12d 10189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) = (𝑋 · (2 · (𝐴 / 4))))
219218oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) = (𝑃 · (𝑋 · (2 · (𝐴 / 4)))))
220150, 211, 3mulassd 10007 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 / 2)) · 𝑋) = (𝑃 · ((𝐴 / 2) · 𝑋)))
221217, 219, 2203eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4)))) = ((𝑃 · (𝐴 / 2)) · 𝑋))
222221oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))))) = (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝑃 · (𝐴 / 2)) · 𝑋)))
223150, 211mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
224129, 223, 3adddird 10009 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (𝑃 · (𝐴 / 2))) · 𝑋) = (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝑃 · (𝐴 / 2)) · 𝑋)))
225146oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 / 2)) = ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · (𝐴 / 2)))
226143, 126, 211subdird 10431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) · (𝐴 / 2)) = ((𝐵 · (𝐴 / 2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴 / 2))))
227143, 4, 89, 92divassd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 2) = (𝐵 · (𝐴 / 2)))
228143, 4mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
229228oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 2) = ((𝐴 · 𝐵) / 2))
230227, 229eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 2)) = ((𝐴 · 𝐵) / 2))
23172oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
232 expp1 12807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2334, 74, 232sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
234231, 233syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
235234oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑3)) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · 𝐴)))
23627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
237236, 83, 88, 90div23d 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑3)) / 8) = ((3 / 8) · (𝐴↑3)))
23852a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (3 / 8) ∈ ℂ)
239238, 43, 4mulassd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · 𝐴) = ((3 / 8) · ((𝐴↑2) · 𝐴)))
240235, 237, 2393eqtr4rd 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · 𝐴) = ((3 · (𝐴↑3)) / 8))
241236, 83, 88, 90divassd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((3 · (𝐴↑3)) / 8) = (3 · ((𝐴↑3) / 8)))
242240, 241eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · 𝐴) = (3 · ((𝐴↑3) / 8)))
243242oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · 𝐴) / 2) = ((3 · ((𝐴↑3) / 8)) / 2))
244126, 4, 89, 92divassd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · 𝐴) / 2) = (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴 / 2)))
245236, 128, 89, 92divassd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑3) / 8)) / 2) = (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))
246243, 244, 2453eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴 / 2)) = (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))
247230, 246oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 / 2)) − (((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝐴 / 2))) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2))))
248225, 226, 2473eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 / 2)) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2))))
249248oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (𝑃 · (𝐴 / 2))) = ((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))))
250 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℂ ∧ (((𝐴↑3) / 8) / 2) ∈ ℂ) → (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) ∈ ℂ)
25127, 129, 250sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) ∈ ℂ)
252129, 193, 251addsub12d 10359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) + ((((𝐴↑3) / 8) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))))
253193, 251, 129subsub2d 10365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (((𝐴↑3) / 8) / 2))) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) + ((((𝐴↑3) / 8) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))))
254129mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) = (((𝐴↑3) / 8) / 2))
255254oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (1 · (((𝐴↑3) / 8) / 2))) = ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (((𝐴↑3) / 8) / 2)))
256 3m1e2 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 − 1) = 2
257256oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 − 1) · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) = (2 · (((𝐴↑3) / 8) / 2))
258 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
259236, 258, 129subdird 10431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((3 − 1) · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) = ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (1 · (((𝐴↑3) / 8) / 2))))
260128, 89, 92divcan2d 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) = ((𝐴↑3) / 8))
261257, 259, 2603eqtr3a 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (1 · (((𝐴↑3) / 8) / 2))) = ((𝐴↑3) / 8))
262255, 261eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (((𝐴↑3) / 8) / 2)) = ((𝐴↑3) / 8))
263262oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)) − (((𝐴↑3) / 8) / 2))) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)))
264252, 253, 2633eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − (3 · (((𝐴↑3) / 8) / 2)))) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)))
265249, 264eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (𝑃 · (𝐴 / 2))) = (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)))
266265oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐴↑3) / 8) / 2) + (𝑃 · (𝐴 / 2))) · 𝑋) = ((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋))
267222, 224, 2663eqtr2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))))) = ((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋))
268267oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + (𝑃 · (2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))))) + (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) = (((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
269203, 205, 2683eqtrd 2659 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) = (((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))))
2701oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 · 𝑌) = (𝑄 · (𝑋 + (𝐴 / 4))))
271159, 3, 9adddid 10008 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 · (𝑋 + (𝐴 / 4))) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑄 · (𝐴 / 4))))
272270, 271eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 · 𝑌) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑄 · (𝐴 / 4))))
273272oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅) = (((𝑄 · 𝑋) + (𝑄 · (𝐴 / 4))) + 𝑅))
274198, 199, 161addassd 10006 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 · 𝑋) + (𝑄 · (𝐴 / 4))) + 𝑅) = ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))
275273, 274eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅) = ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))
276269, 275oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝜑 → (((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = ((((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2)))) + ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅))))
277194, 159addcomd 10182 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) + 𝑄) = (𝑄 + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8))))
278147oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8))) = (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8))))
279144, 193subcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
280279, 128, 193ppncand 10376 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8))) = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴 · 𝐵) / 2)))
281144, 193npcand 10340 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴 · 𝐵) / 2)) = 𝐶)
282280, 281eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) + (((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8))) = 𝐶)
283277, 278, 2823eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) + 𝑄) = 𝐶)
284283oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) + 𝑄) · 𝑋) = (𝐶 · 𝑋))
285194, 159, 3adddird 10009 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) + 𝑄) · 𝑋) = (((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (𝑄 · 𝑋)))
286284, 285eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) = (((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (𝑄 · 𝑋)))
2874, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 3, 1quart1lem 24482 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅)))
288286, 287oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) = ((((((𝐴 · 𝐵) / 2) − ((𝐴↑3) / 8)) · 𝑋) + (𝑄 · 𝑋)) + ((((𝐴↑4) / 256) + (𝑃 · ((𝐴 / 4)↑2))) + ((𝑄 · (𝐴 / 4)) + 𝑅))))
289201, 276, 2883eqtr4d 2665 . . . . 5 (𝜑 → (((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
290289oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑋↑2)) + (((((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256)) + (𝑃 · ((2 · (𝑋 · (𝐴 / 4))) + ((𝐴 / 4)↑2)))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅))) = ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
291188, 191, 2903eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → ((((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)) = ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
292291oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((((((3 / 8) · (𝐴↑2)) · (𝑋↑2)) + (((((𝐴↑3) / 8) / 2) · 𝑋) + ((𝐴↑4) / 256))) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅))) = (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))))
293157, 163, 2923eqtrrd 2660 1 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) = (((𝑌↑4) + (𝑃 · (𝑌↑2))) + ((𝑄 · 𝑌) + 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  5c5 11017  6c6 11018  8c8 11020  0cn0 11236  cdc 11437  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  quart  24488
  Copyright terms: Public domain W3C validator