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Theorem quartlem1 24754
Description: Lemma for quart 24758. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quartlem1.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
quartlem1.q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
quartlem1.r (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
quartlem1.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quartlem1.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
Assertion
Ref Expression
quartlem1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))

Proof of Theorem quartlem1
StepHypRef Expression
1 2cn 11254 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
2 quartlem1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3 sqmul 13091 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
41, 2, 3sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = ((2↑2) · (𝑃↑2)))
5 sq2 13125 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
65oveq1i 6811 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · (𝑃↑2)) = (4 · (𝑃↑2))
74, 6syl6eq 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) = (4 · (𝑃↑2)))
87oveq1d 6816 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
9 4cn 11261 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
11 3cn 11258 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
132sqcld 13171 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
1410, 12, 13subdird 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = ((4 · (𝑃↑2)) − (3 · (𝑃↑2))))
158, 14eqtr4d 2785 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) = ((4 − 3) · (𝑃↑2)))
16 ax-1cn 10157 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 3p1e4 11316 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
189, 11, 16, 17subaddrii 10533 . . . . . . . . 9 (4 − 3) = 1
1918oveq1i 6811 . . . . . . . 8 ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (1 · (𝑃↑2))
20 mulid2 10201 . . . . . . . 8 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → (1 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2119, 20syl5eq 2794 . . . . . . 7 ((𝑃↑2) ∈ ℂ → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 − 3) · (𝑃↑2)) = (𝑃↑2))
2315, 22eqtr2d 2783 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑2) = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))))
2423oveq1d 6816 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
25 mulcl 10183 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
261, 2, 25sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
2726sqcld 13171 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑2) ∈ ℂ)
28 mulcl 10183 . . . . . 6 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
2911, 13, 28sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (3 · (𝑃↑2)) ∈ ℂ)
30 1nn0 11471 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
31 2nn 11348 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
3230, 31decnncl 11681 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3332nncni 11193 . . . . . 6 12 ∈ ℂ
34 quartlem1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
35 mulcl 10183 . . . . . 6 ((12 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3633, 34, 35sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (12 · 𝑅) ∈ ℂ)
3727, 29, 36subsubd 10583 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))) = ((((2 · 𝑃)↑2) − (3 · (𝑃↑2))) + (12 · 𝑅)))
3824, 37eqtr4d 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
39 quartlem1.u . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
40 mulcl 10183 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
419, 34, 40sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
4212, 13, 41subdid 10649 . . . . 5 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
43 4t3e12 11795 . . . . . . . . 9 (4 · 3) = 12
449, 11, 43mulcomli 10210 . . . . . . . 8 (3 · 4) = 12
4544oveq1i 6811 . . . . . . 7 ((3 · 4) · 𝑅) = (12 · 𝑅)
4612, 10, 34mulassd 10226 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · 4) · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4745, 46syl5eqr 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (12 · 𝑅) = (3 · (4 · 𝑅)))
4847oveq2d 6817 . . . . 5 (𝜑 → ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)) = ((3 · (𝑃↑2)) − (3 · (4 · 𝑅))))
4942, 48eqtr4d 2785 . . . 4 (𝜑 → (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅)))
5049oveq2d 6817 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (((2 · 𝑃)↑2) − ((3 · (𝑃↑2)) − (12 · 𝑅))))
5138, 39, 503eqtr4d 2792 . 2 (𝜑𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
521a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 3nn0 11473 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5552, 2, 54mulexpd 13188 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = ((2↑3) · (𝑃↑3)))
56 cu2 13128 . . . . . . . . . 10 (2↑3) = 8
5756oveq1i 6811 . . . . . . . . 9 ((2↑3) · (𝑃↑3)) = (8 · (𝑃↑3))
5855, 57syl6eq 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃)↑3) = (8 · (𝑃↑3)))
5958oveq2d 6817 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (2 · (8 · (𝑃↑3))))
60 8cn 11269 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
62 expcl 13043 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
632, 53, 62sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑3) ∈ ℂ)
6452, 61, 63mul12d 10408 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (8 · (𝑃↑3))) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
6559, 64eqtrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2 · 𝑃)↑3)) = (8 · (2 · (𝑃↑3))))
66 9cn 11271 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
68 mulcl 10183 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
691, 63, 68sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
702, 34mulcld 10223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ)
71 mulcl 10183 . . . . . . . . 9 ((8 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7260, 70, 71sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (8 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
7367, 69, 72subdid 10649 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
7426, 13, 41subdid 10649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))))
7552, 2, 13mulassd 10226 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))))
762, 13mulcomd 10224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
77 df-3 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
7877oveq2i 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃↑3) = (𝑃↑(2 + 1))
79 2nn0 11472 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
80 expp1 13032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
812, 79, 80sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑(2 + 1)) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8278, 81syl5eq 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃↑3) = ((𝑃↑2) · 𝑃))
8376, 82eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · (𝑃↑2)) = (𝑃↑3))
8483oveq2d 6817 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑃 · (𝑃↑2))) = (2 · (𝑃↑3)))
8575, 84eqtrd 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) = (2 · (𝑃↑3)))
8652, 2, 10, 34mul4d 10411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)))
87 4t2e8 11344 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 2) = 8
889, 1, 87mulcomli 10210 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 4) = 8
8988oveq1i 6811 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) · (𝑃 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅))
9086, 89syl6eq 2798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅)) = (8 · (𝑃 · 𝑅)))
9185, 90oveq12d 6819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑃) · (𝑃↑2)) − ((2 · 𝑃) · (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9274, 91eqtrd 2782 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))) = ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9392oveq2d 6817 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = (9 · ((2 · (𝑃↑3)) − (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
94 9t8e72 11832 . . . . . . . . . 10 (9 · 8) = 72
9594oveq1i 6811 . . . . . . . . 9 ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (72 · (𝑃 · 𝑅))
9667, 61, 70mulassd 10226 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 · 8) · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9795, 96syl5eqr 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) = (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅))))
9897oveq2d 6817 . . . . . . 7 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (8 · (𝑃 · 𝑅)))))
9973, 93, 983eqtr4d 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅))))
10065, 99oveq12d 6819 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))))
101 mulcl 10183 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10260, 69, 101sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (8 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
103 mulcl 10183 . . . . . . 7 ((9 ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ) → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
10466, 69, 103sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (9 · (2 · (𝑃↑3))) ∈ ℂ)
105 7nn0 11477 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ0
106105, 31decnncl 11681 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ
107106nncni 11193 . . . . . . 7 72 ∈ ℂ
108 mulcl 10183 . . . . . . 7 ((72 ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑅) ∈ ℂ) → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
109107, 70, 108sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → (72 · (𝑃 · 𝑅)) ∈ ℂ)
110102, 104, 109subsubd 10583 . . . . 5 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (72 · (𝑃 · 𝑅)))) = (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
111104, 102negsubdi2d 10571 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))))
11267, 61, 69subdird 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))))
113 8p1e9 11321 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
11466, 60, 16, 113subaddrii 10533 . . . . . . . . . . 11 (9 − 8) = 1
115114oveq1i 6811 . . . . . . . . . 10 ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (1 · (2 · (𝑃↑3)))
11669mulid2d 10221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
117115, 116syl5eq 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 − 8) · (2 · (𝑃↑3))) = (2 · (𝑃↑3)))
118112, 117eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = (2 · (𝑃↑3)))
119118negeqd 10438 . . . . . . 7 (𝜑 → -((9 · (2 · (𝑃↑3))) − (8 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
120111, 119eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) = -(2 · (𝑃↑3)))
121120oveq1d 6816 . . . . 5 (𝜑 → (((8 · (2 · (𝑃↑3))) − (9 · (2 · (𝑃↑3)))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
122100, 110, 1213eqtrd 2786 . . . 4 (𝜑 → ((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) = (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
123 7nn 11353 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
12479, 123decnncl 11681 . . . . . 6 27 ∈ ℕ
125124nncni 11193 . . . . 5 27 ∈ ℂ
126 quartlem1.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
127126sqcld 13171 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
128 mulneg2 10630 . . . . 5 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
129125, 127, 128sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (27 · -(𝑄↑2)) = -(27 · (𝑄↑2)))
130122, 129oveq12d 6819 . . 3 (𝜑 → (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))))
13169negcld 10542 . . . . 5 (𝜑 → -(2 · (𝑃↑3)) ∈ ℂ)
132 mulcl 10183 . . . . . 6 ((27 ∈ ℂ ∧ (𝑄↑2) ∈ ℂ) → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
133125, 127, 132sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝑄↑2)) ∈ ℂ)
134131, 109, 133addsubd 10576 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
135131, 109addcld 10222 . . . . 5 (𝜑 → (-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) ∈ ℂ)
136135, 133negsubd 10561 . . . 4 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) − (27 · (𝑄↑2))))
137 quartlem1.v . . . 4 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
138134, 136, 1373eqtr4d 2792 . . 3 (𝜑 → ((-(2 · (𝑃↑3)) + (72 · (𝑃 · 𝑅))) + -(27 · (𝑄↑2))) = 𝑉)
139130, 138eqtr2d 2783 . 2 (𝜑𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))))
14051, 139jca 555 1 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  (class class class)co 6801  cc 10097  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  cmin 10429  -cneg 10430  2c2 11233  3c3 11234  4c4 11235  7c7 11238  8c8 11239  9c9 11240  0cn0 11455  cdc 11656  cexp 13025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-seq 12967  df-exp 13026
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