MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem4 24504
Description: Closure lemmas for quart 24505. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
quart.s (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
quart.m (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
quart.t (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
quart.t0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
quart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
quart.i (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
quart.j (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
Assertion
Ref Expression
quartlem4 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem4
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3 (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
2 quart.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quart.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 quart.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
7 quart.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
8 quart.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
9 quart.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
10 quart.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
11 quart.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
12 quart.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
13 quart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
14 quart.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
15 quart.t0 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
162, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15quartlem3 24503 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
1716simp2d 1072 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817sqrtcld 14118 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑀) ∈ ℂ)
19 2cnd 11045 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2017sqsqrtd 14120 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) = 𝑀)
21 quart.m0 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2220, 21eqnetrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) ≠ 0)
23 sqne0 12878 . . . . . 6 ((√‘𝑀) ∈ ℂ → (((√‘𝑀)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘𝑀) ≠ 0))
2418, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑀)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘𝑀) ≠ 0))
2522, 24mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑀) ≠ 0)
26 2ne0 11065 . . . . 5 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2818, 19, 25, 27divne0d 10769 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑀) / 2) ≠ 0)
291, 28eqnetrd 2857 . 2 (𝜑𝑆 ≠ 0)
30 quart.i . . 3 (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
3116simp1d 1071 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3231sqcld 12954 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
3332negcld 10331 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
342, 3, 4, 5, 7, 8, 9quart1cl 24498 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
3534simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3635halfcld 11229 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
3733, 36subcld 10344 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) ∈ ℂ)
3834simp2d 1072 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
39 4cn 11050 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
41 4ne0 11069 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
4338, 40, 42divcld 10753 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 / 4) ∈ ℂ)
4443, 31, 29divcld 10753 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
4537, 44addcld 10011 . . . 4 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
4645sqrtcld 14118 . . 3 (𝜑 → (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))) ∈ ℂ)
4730, 46eqeltrd 2698 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
48 quart.j . . 3 (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
4937, 44subcld 10344 . . . 4 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
5049sqrtcld 14118 . . 3 (𝜑 → (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))) ∈ ℂ)
5148, 50eqeltrd 2698 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
5229, 47, 513jca 1240 1 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  7c7 11027  8c8 11028  cdc 11445  cexp 12808  csqrt 13915  𝑐ccxp 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225
This theorem is referenced by:  quart  24505
  Copyright terms: Public domain W3C validator